结论：您与第三方的劳动合同是否还有效，主要取决于您与第三方之间的劳动合同的具体约定以及相关法律法规的规定，特别是劳动合同中关于合同终止和续签的条款。以下分情况详细说明：

1. 劳动合同中有明确约定：

   • 如果您与第三方签订的劳动合同中明确规定了，在医院不与第三方续签的情况下，您的劳动合同如何处理（例如，自动终止、继续有效至一定期限、或需双方协商续签等），那么应当按照劳动合同中的约定来执行。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同的变更、解除和终止，应当遵循双方约定，并符合法律法规的规定。因此，如果劳动合同中有明确约定，则按照约定处理。

2. 劳动合同中没有明确约定：

   • 如果劳动合同中没有明确规定医院不与第三方续签时您劳动合同的处理方式，那么您与第三方的劳动合同可能不会因医院与第三方的合同终止而自动终止。
   • 在这种情况下，您与第三方的劳动关系仍然存在，除非第三方依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定（如劳动合同期满、劳动者开始依法享受基本养老保险待遇、劳动者死亡或被宣告死亡或失踪、用人单位被依法宣告破产、用人单位被吊销营业执照等）来终止您的劳动合同。
   • 特别提示：如果第三方因医院不续签而决定终止与您的劳动合同，且没有合法依据，那么第三方可能构成违法解除劳动合同，您有权要求第三方支付赔偿金或要求继续履行劳动合同。

3. 关于后续行动的建议：

   • 审查劳动合同：首先，建议您仔细审查您与第三方签订的劳动合同，特别是关于合同终止和续签的条款，以了解您的权益和义务。
   • 与第三方沟通：如果劳动合同中没有明确规定或您对合同条款有疑问，建议您与第三方进行沟通，了解他们的意图和计划，并尝试协商达成一致意见。
   • 寻求法律帮助：如果您与第三方无法达成一致意见，或者您认为第三方违法解除了您的劳动合同，建议您寻求专业的法律帮助，以维护您的合法权益。

总结与进一步思考：医院不与第三方续签合同，并不直接导致您与第三方的劳动合同终止。您与第三方的劳动合同是否还有效，主要取决于劳动合同中的约定以及相关法律法规的规定。因此，建议您首先审查劳动合同，与第三方进行沟通，并在必要时寻求法律帮助。如果您有任何进一步的法律问题或需要更详细的法律建议，请直接向我咨询。