父亲去世后，原本由父亲起诉要求赡养费的案件会因诉讼主体资格的丧失而终结，但需根据具体情况处理后续事宜。以下分情况详细说明：

1. 案件终结的法律依据
   根据《民事诉讼法》第151条，诉讼过程中一方当事人死亡的，若诉讼标的为赡养费、抚养费等身份关系请求权，且权利义务不随死亡转移的，法院应裁定终结诉讼。赡养费请求权具有人身专属性，父亲去世后，其作为原告的诉讼主体资格消灭，案件无法继续审理，法院会依法终结诉讼程序。

2. 已判决案件的执行问题
   若父亲在世时已获得生效判决并申请强制执行，但未执行完毕即去世，根据《民事诉讼法》第232条，执行标的为赡养费等持续性给付义务的，执行程序不因权利人死亡而终止。此时，应由父亲的法定继承人（如配偶、子女、父母）作为申请执行人，向法院申请变更执行主体，继续要求子女履行赡养义务至判决确定的期限或实际履行完毕。

3. 未起诉但存在赡养纠纷的解决路径
   若父亲生前未起诉，但去世后其他家庭成员认为子女未尽赡养义务，可通过协商或另行起诉解决：

   • 协商：家庭成员可与子女沟通，要求其补付赡养费或承担其他赡养责任（如医疗费、护理费等）。
     
   • 起诉：若协商无果，可由父亲的法定继承人（如配偶、子女、父母）作为原告，以“遗属权益保护”为由，向法院起诉要求子女支付赡养费。但需注意，此类诉讼的请求权基础是遗属生活困难补助（若符合当地政策）或继承法中的必要费用支出，而非直接延续父亲的赡养费请求权。

4. 特殊情形：子女恶意逃避赡养
   若子女在父亲生前故意隐匿财产、转移收入或拒绝支付赡养费，导致父亲生活困难，其他家庭成员可向法院申请宣告子女为“遗弃家庭成员”，并依据《民法典》第1067条，要求子女承担补付赡养费、赔偿损失等责任。此外，若子女行为构成犯罪（如虐待、遗弃罪），还可向公安机关报案追究刑事责任。

总结建议：

• 若案件已进入诉讼阶段但未终结，需联系法院确认程序状态，必要时申请变更执行主体；
  
• 若父亲未起诉但存在纠纷，优先通过协商解决，协商不成可咨询律师评估起诉可行性；
  
• 保留好父亲生前的医疗记录、收入证明、子女未尽义务的证据（如聊天记录、证人证言等），以备后续维权使用。
  

如有具体案件细节或证据材料，可进一步向我咨询，我会结合实际情况提供更精准的法律方案。