结论：小孩在商场自己碰到门上受伤，商场是否应该赔偿需根据具体情况判断，主要看商场是否尽到了安全保障义务。若商场存在过错，如门的设计存在安全隐患、未设置警示标识等，则商场应承担相应赔偿责任；若商场已尽到安全保障义务，则可能无需承担赔偿责任。
一、商场的安全保障义务
根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条，宾馆、商场等经营场所、公共场所的经营者、管理者，有义务确保其提供的服务环境安全无虞，避免消费者因设施缺陷、管理不善等原因遭受损害。这包括但不限于：
- 设施安全：商场的门、扶梯、地面等设施应符合安全标准，不存在设计缺陷或老化损坏等问题。
- 警示标识：对于可能存在安全隐患的区域或设施，商场应设置明显的警示标识，提醒消费者注意。
- 员工培训：商场应加强员工的安全培训，提高应急处理能力，以便在事故发生时能迅速采取有效措施减少损害。
二、责任判定
商场承担全部责任：
- 若商场的门存在设计缺陷（如门缝过大、门边锋利等）或老化损坏（如门轴松动、门板脱落等），且商场未设置警示标识或未及时维修，导致小孩受伤，商场应承担全部赔偿责任。
商场承担部分责任：
- 若小孩受伤是自身原因和商场过错共同导致，如小孩奔跑打闹同时商场门边存在轻微瑕疵（如门边有轻微凸起），此时商场可能需承担部分赔偿责任。具体责任比例需根据双方过错程度、因果关系等因素综合判断。
商场无责任：
- 若商场已尽到安全保障义务，如门的设计符合安全标准、已设置警示标识、定期检查维护等，且小孩受伤完全是由自身原因（如故意碰撞、奔跑打闹等）导致，则商场无需承担赔偿责任。
三、赔偿范围
若商场需承担赔偿责任，赔偿范围通常包括：
- 医疗费：包括挂号费、检查费、治疗费、药费等，以医疗机构出具的正规发票和病历为依据。
- 护理费：根据护理人员收入状况或当地护工劳务报酬标准计算。若小孩受伤严重需专人护理，家长可请求赔偿护理费。
- 交通费：按实际发生的费用计算，以正式交通票据为凭。如家长因带小孩就医产生的交通费用。
- 营养费：根据伤情和医疗机构意见适当赔偿。若小孩受伤需加强营养以促进恢复，家长可请求赔偿营养费。
- 其他合理支出：如住宿费（外地就医且符合特定条件的）、因误工减少的收入（家长因照顾受伤小孩而误工的）等，需合理且必要。
四、建议与措施
及时救助与固定证据：
- 商场应第一时间救助受伤小孩，并固定现场证据（如拍照、录像），保存相关票据（如医疗费发票、交通费票据等）。
协商解决：
- 家长与商场就赔偿事宜进行协商，明确提出赔偿要求和依据。协商过程中，双方可共同委托第三方机构进行鉴定或评估，以确定赔偿金额。
第三方调解或诉讼解决：
- 若协商不成，家长可请求消费者协会、人民调解委员会等第三方机构进行调解；调解无果的，可向有管辖权的人民法院提起民事诉讼，提供充分证据证明商场过错及小孩损失。
温馨提示：在处理此类纠纷时，保留好相关证据是关键。家长应确保小孩得到及时救治的同时，积极收集并保存现场照片、视频、医疗记录、费用票据等证据材料，以便在协商或诉讼过程中维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。