若因赠品标价0.01元引发纠纷，赔偿问题需结合具体场景判断，常见情况及处理方式如下：

1. 商家虚假宣传或欺诈
   若商家故意将赠品标价为0.01元，实际未提供赠品，或赠品与宣传不符（如质量严重瑕疵），可能构成《消费者权益保护法》中的欺诈行为。此时消费者可主张“退一赔三，最低500元”的惩罚性赔偿。例如：商家宣传“购买商品赠送价值100元礼品”，但实际赠品为0.01元的劣质品，消费者可要求商家赔偿500元。

2. 赠品存在质量问题导致人身或财产损害
   若赠品因质量问题造成消费者人身伤害（如爆炸、过敏）或财产损失（如损坏其他物品），消费者可依据《民法典》第1203条要求商家承担产品责任，赔偿医疗费、财产损失等实际费用。例如：赠品电热水壶因漏电导致消费者触电，商家需赔偿医疗费及误工费。

3. 商家未明确告知赠品规则
   若商家未在宣传中明确赠品获取条件（如需满足特定消费金额、参与活动等），导致消费者误解，可能构成《消费者权益保护法》中的“未履行告知义务”。此时消费者可要求商家补发赠品或协商其他补偿，但一般不涉及惩罚性赔偿。

建议行动步骤：

1. 保留证据：截图宣传页面、订单记录、赠品实物照片等；
   
2. 与商家协商，明确诉求（如赔偿金额或补发赠品）；
   
3. 若协商无果，可向12315平台投诉或通过诉讼维权。
   

提示：若赠品标价0.01元但实际价值与标价相符（如小样试用装），且商家无欺诈行为，则一般不涉及赔偿问题。具体需结合实际情况判断，如有疑问可进一步向我咨询。