结论前置：机关单位解除无固定期限劳动合同，必须严格遵循法定程序和条件，否则可能构成违法解除。在符合法律规定的情形下，机关单位可以与劳动者协商一致解除，或因劳动者过错、非过错性原因以及经济性裁员等理由解除劳动合同。若解除合同非因劳动者过错，机关单位通常需要支付经济补偿金。
一、协商一致解除
根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十六条，机关单位与劳动者可以协商一致解除无固定期限劳动合同。双方需签订书面解除协议，明确解除日期、经济补偿等相关事项。例如，机关单位因机构改革、职能调整等原因，需要与部分劳动者解除劳动合同，此时可以与劳动者进行协商，达成一致后签订书面协议，依法解除劳动合同。
二、因劳动者过错解除
试用期不符合录用条件：劳动者在试用期间被证明不符合明确的录用条件，如学历、技能要求等，且机关单位有考核记录为证。例如，某劳动者在试用期内未能通过专业技能考核，机关单位可以依据此条款解除劳动合同。
严重违反规章制度：劳动者严重违反依法制定并向其公示的机关单位规章制度。例如，劳动者多次迟到早退、旷工，或者违反工作纪律、操作规程等，机关单位可以依据此条款解除劳动合同。
严重失职或营私舞弊：劳动者因严重失职、营私舞弊给机关单位造成重大损害，机关单位需能证明因果关系。例如，劳动者在财务管理中严重失职，导致机关单位资金损失，机关单位可以依据此条款解除劳动合同。
同时与其他单位建立劳动关系：劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，严重影响本职工作或拒不改正。例如，劳动者在机关单位工作期间，同时与其他单位签订劳动合同并从事兼职工作，且影响了本职工作，机关单位可以依据此条款解除劳动合同。
劳动合同无效：因劳动者以欺诈、胁迫手段或乘人之危使机关单位违背真实意思订立或变更劳动合同，导致合同无效。例如，劳动者在签订劳动合同时提供虚假学历证明，机关单位发现后可以依据此条款解除劳动合同。
被追究刑事责任：劳动者被人民法院判处刑罚或被依据《刑法》免予刑事处罚。例如，劳动者因犯罪被法院判处有期徒刑，机关单位可以依据此条款解除劳动合同。
三、因劳动者非过错性原因解除
患病或非因工负伤：劳动者患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或机关单位另行安排的工作。例如，劳动者因患病需要长期治疗，医疗期满后仍无法胜任原工作，机关单位可以依据此条款解除劳动合同，但需支付经济补偿金。
不能胜任工作：劳动者不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任，机关单位需有合理考核标准和记录。例如，劳动者在绩效考核中多次不合格，且经过培训或调整岗位后仍无法胜任工作，机关单位可以依据此条款解除劳动合同，并支付经济补偿金。
客观情况发生重大变化：劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，致使合同无法履行，且双方未能就变更内容达成协议。这包括机关单位迁移、被兼并、资产转移等情况。例如，机关单位因政策调整需要迁移至其他地区，导致劳动合同无法继续履行，且双方未能就变更劳动合同内容达成协议，机关单位可以依据此条款解除劳动合同，并支付经济补偿金。
四、经济性裁员
机关单位在以下情形下可进行经济性裁员并解除无固定期限劳动合同：
依照企业破产法重整：机关单位依照企业破产法规定进行重整。
生产经营严重困难：机关单位生产经营发生严重困难。
企业转产、技术革新或经营方式调整：机关单位转产、重大技术革新或经营方式调整，经变更劳动合同后仍需裁减人员。
其他客观经济情况变化：其他因劳动合同订立时所依据的客观经济情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行。
进行经济性裁员时，机关单位需提前三十日向工会或全体职工说明情况，听取意见后，裁减方案需向劳动行政部门报告，并支付经济补偿。六个月内重新招用人员时，应优先招用被裁减人员。
总结：机关单位在解除无固定期限劳动合同时，必须确保符合上述法定情形和程序，否则可能面临法律风险。在非因劳动者过错导致的合同解除情况下，机关单位应依法支付经济补偿金，以保障劳动者的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。