结论：医院第三方劳务派遣员工在特定情况下是可以对医院提起劳动仲裁的，但具体是否可行需根据实际情况和法律规定来判断。

分析说明：

1. 劳务派遣关系中的法律主体：

   • 在劳务派遣关系中，存在三个主体：劳务派遣单位（即用人单位）、被派遣劳动者和用工单位（如医院）。
   • 劳务派遣单位与被派遣劳动者之间签订劳动合同，建立劳动关系，并承担用人单位的义务，如支付工资、缴纳社会保险等。
   • 用工单位则实际使用被派遣劳动者，并对其进行工作管理和指挥。

2. 劳动仲裁的适用对象：

   • 劳动仲裁是解决劳动争议的一种方式，通常适用于用人单位与劳动者之间因劳动权利义务而发生的争议。
   • 在劳务派遣关系中，虽然劳务派遣单位是用人单位，但用工单位（如医院）也可能因工作管理、劳动条件等问题与被派遣劳动者产生争议。

3. 对医院提起劳动仲裁的可行性：

   • 直接争议：如果被派遣劳动者与医院之间因工作条件、劳动保护、工作时间、休息休假、劳动报酬等直接相关的劳动权利义务问题产生争议，且这些争议不属于劳务派遣单位与劳动者之间劳动合同约定的范畴，那么被派遣劳动者理论上是可以对医院提起劳动仲裁的。但这种情况较为特殊，因为通常这些争议会先通过劳务派遣单位与用工单位之间的协商或内部处理机制来解决。
   • 连带责任：在某些情况下，如果劳务派遣单位违反法律规定或劳动合同约定，给被派遣劳动者造成损害，而用工单位（医院）对此存在过错或连带责任，那么被派遣劳动者在提起对劳务派遣单位的劳动仲裁时，也可能将医院作为共同被申请人或第三人，要求其承担相应的责任。不过，这通常是在对劳务派遣单位提起仲裁的过程中，根据案件具体情况和法律规定来决定的。
   • 实际案例与司法实践：在实际操作中，是否能够对医院提起劳动仲裁还取决于具体的司法实践和地方性法规。有些地区可能更倾向于将劳务派遣关系中的争议视为劳务派遣单位与劳动者之间的争议，而不太支持直接对用工单位提起仲裁。因此，在具体操作前，建议咨询当地劳动仲裁机构或专业律师以获取更准确的指导。

法律建议：

• 如果您作为医院第三方劳务派遣员工，认为自己的劳动权益受到了侵害，且这种侵害与医院的工作管理或劳动条件直接相关，那么您可以先尝试与劳务派遣单位和医院进行协商，寻求解决方案。
• 如果协商无果，您可以考虑向当地劳动仲裁机构提起仲裁申请。在申请前，请务必收集好相关证据，如劳动合同、工作记录、工资单、沟通记录等，以支持您的仲裁请求。
• 由于劳务派遣关系的复杂性，建议您在提起仲裁前咨询专业律师，以获取更具体、更专业的法律建议和指导。

后续行动与注意事项：

• 在提起仲裁前，请确保您已经了解了当地的劳动仲裁流程和规定，以及可能需要提交的材料和证据。
• 在仲裁过程中，请保持冷静和理性，遵循仲裁机构的指导和要求，积极配合仲裁程序的进行。
• 如果对仲裁结果不满意，您还可以在法定期限内向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。

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