结论：针对“付婷婷47秒加班大片曝光，门店对其启动内部调查程序是否合法合规”这一问题，门店启动内部调查程序本身是合法且合理的，但调查过程及后续处理需严格遵守法律法规，确保程序正当、证据充分、处理公正。以下结合新闻背景，从多个维度进行详细分析：
一、门店启动内部调查程序的合法性
用人单位的管理权：根据《劳动法》及《劳动合同法》的相关规定，用人单位对员工享有管理权，包括制定规章制度、对员工进行日常管理和监督等。门店作为用人单位，有权对员工的行为进行调查，以维护正常的经营秩序和工作环境。
调查程序的启动条件：门店启动内部调查程序通常基于员工可能存在的违规行为或不当行为，这些行为可能损害公司利益、影响公司形象或违反公司规章制度。在付婷婷的事件中，视频曝光后，其“双面人生”引发了公众关注，门店为了维护自身形象和声誉，启动内部调查程序是合理的。
二、门店内部调查程序的合规性要求
程序正当性：门店在启动内部调查程序时，应确保程序正当，即调查过程应公开、透明，遵循公平、公正的原则。调查人员应客观、中立，避免主观臆断或偏见影响调查结果。
证据充分性：门店在调查过程中应收集充分的证据，以证明员工是否存在违规行为或不当行为。证据应真实、可靠，能够形成完整的证据链。在付婷婷的事件中，门店应收集视频证据、员工陈述、证人证言等相关证据，以支持其调查结论。
处理公正性：根据调查结果，门店应对员工进行公正的处理。如果员工确实存在违规行为或不当行为，门店应根据公司规章制度和国家法律法规进行相应的处罚；如果员工行为不构成违规或不当，门店应及时恢复其名誉和职务。在付婷婷的事件中，如果调查结果显示其确实存在欺骗行为或违反公司规章制度的行为，门店有权对其进行相应的处罚；如果调查结果显示其行为不构成违规或不当，门店应恢复其职务并公开澄清事实。
三、新闻背景中的法律问题及启示
员工隐私权保护：在调查过程中，门店应尊重员工的隐私权，避免泄露员工个人信息或侵犯其合法权益。在付婷婷的事件中，虽然视频已经曝光，但门店在调查过程中仍应谨慎处理涉及员工隐私的信息。
公司规章制度与法律法规的衔接：门店在制定规章制度时，应确保与国家法律法规相衔接，避免规章制度与法律法规相冲突。在处理员工违规行为时，门店应依据公司规章制度和国家法律法规进行处罚，确保处罚的合法性和合理性。
社会信任体系的维护：付婷婷的事件引发了公众对“双面人”的恐惧和对社会信任体系的担忧。作为用人单位，门店应通过合法合规的调查程序和处理方式，维护社会信任体系，避免类似事件对公司和社会造成不良影响。
四、对公众的启示
诚实守信的重要性：付婷婷的事件再次提醒我们，诚实守信是做人做事的基本准则。无论在职场还是生活中，我们都应坚守诚信底线，避免因为一时的利益或压力而违背诚信原则。
形象管理与真实自我的平衡：在职场和生活中，我们都需要进行一定的形象管理，以维护良好的人际关系和工作环境。然而，形象管理并不意味着要伪装自己或违背真实自我。我们应在保持真实自我的基础上，进行适当的形象管理，以展现自己的专业素养和人格魅力。
法律意识的提升：作为社会成员，我们应不断提升自己的法律意识，了解国家法律法规和公司规章制度，避免因为无知或疏忽而触犯法律或违反规章制度。同时，在遇到法律问题时，我们应积极寻求法律帮助，维护自己的合法权益。
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