针对您手指骨折且没有劳动合同的情况，以下是一些详细的处理步骤和建议，希望能对您有所帮助：
首先，尽管您与单位没有签订劳动合同，但只要能证明您与单位之间存在劳动关系，您仍然有权申请工伤认定。劳动关系可以通过工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等多种方式来证明。
一、申请工伤认定
要求用人单位申请：您可以要求用人单位自事故发生之日起30日内为您办理工伤认定。如果用人单位不办理，您或您的直系亲属可以直接到当地的劳动保障行政部门提出工伤认定申请。
准备相关材料：在申请工伤认定时，您需要准备一些必要的材料，如身份证明、劳动关系证明（如工资条、工作证等）、医疗证明（如诊断书、病历等）以及事故发生的相关证据。
二、享受工伤待遇
工伤认定结果：一旦工伤认定结果出来，且您的伤情被认定为工伤，您就有权享受相应的工伤待遇。
工伤保险待遇：如果单位为您购买了工伤保险，您可以按照相关规定申领工伤保险待遇，包括医疗费、康复费、伤残津贴等。
单位支付赔偿：如果单位没有为您购买工伤保险，您可以直接要求用人单位支付所有工伤赔偿项目，包括医疗费、误工费、伤残赔偿金等。
三、处理争议
劳动仲裁：如果用人单位不愿意支付工伤保险待遇或赔偿，您可以向用人单位所在地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求用人单位支付相应的费用。
法律诉讼：如果对劳动仲裁结果不满意，您还可以向法院提起诉讼，通过法律途径来维护自己的权益。
四、特殊情况处理
如果单位不承认与您存在劳动关系，且您又没有足够的证据来证明劳动关系的存在，那么您可以考虑按照雇佣关系中的人身损害赔偿来要求单位进行赔偿。这种情况下，您可以索赔的项目包括医疗费、误工费、住院伙食补助费、营养费、交通费、伤残赔偿金等。
五、建议与提醒
保留证据：在整个处理过程中，您一定要保留好所有相关的证据，如医疗记录、工资条、工作证等，这些证据将对您后续的维权起到关键作用。
及时咨询：如果您对处理流程或相关法律法规不了解，建议及时咨询专业的律师或劳动保障部门的工作人员，他们可以为您提供更详细、更专业的指导。
希望以上建议能对您有所帮助。如果您在处理过程中遇到任何问题或困难，都可以随时向我咨询。