申请先行支付确实是在工伤科（或具体负责工伤保险事务的部门）进行。以下是对这一问题的详细解答：
一、先行支付的概念与法律依据
先行支付是指在特定情况下，由工伤保险基金或社会保险经办机构先行垫付工伤职工的医疗费用等，待后续再由相关责任方进行偿还的制度。这一制度主要依据《中华人民共和国社会保险法》的相关规定设立，旨在保障工伤职工能够及时获得医疗救治和经济补偿。
二、申请先行支付的条件与流程
条件：
- 工伤职工已经参加了工伤保险，但用人单位未依法缴纳工伤保险费；
- 工伤职工因第三人侵权造成工伤，且第三人不支付工伤医疗费用或者无法确定第三人的；
- 工伤职工符合其他法律、法规规定的先行支付情形。
流程：
- 提交申请：工伤职工或其近亲属需要向社会保险经办机构提交先行支付申请，并提供相关证明材料，如工伤认定书、医疗费用发票、用人单位未缴纳工伤保险费的证明等。
- 审核与决定：社会保险经办机构会对申请进行审核，并根据审核结果作出是否先行支付的决定。如果决定先行支付，会与工伤职工或其近亲属签订先行支付协议，明确支付金额、支付方式等事项。
- 支付与追偿：社会保险经办机构会按照协议约定向工伤职工或其近亲属支付医疗费用等。同时，会保留对用人单位或第三人的追偿权，待后续通过法律途径进行追偿。
三、申请先行支付的具体部门
申请先行支付的具体部门通常是当地的社会保险经办机构，这些机构通常隶属于人力资源和社会保障局，并设有专门的工伤科或工伤保险事务部门负责处理此类事务。因此，在申请先行支付时，工伤职工或其近亲属应前往当地的社会保险经办机构或工伤科进行咨询和申请。
四、注意事项与建议
- 及时申请：工伤职工或其近亲属在符合先行支付条件的情况下，应及时向社会保险经办机构提交申请，以免错过最佳治疗时机或影响后续赔偿。
- 准备充分：在提交申请时，应准备齐全相关证明材料，如工伤认定书、医疗费用发票等，以便社会保险经办机构能够及时审核并作出决定。
- 了解政策：工伤职工或其近亲属应了解当地关于先行支付的具体政策和规定，以便在申请过程中能够更好地维护自己的合法权益。
如果您在申请先行支付过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。作为专业律师，我将竭诚为您提供法律支持。