结论：私人老板未签订劳动合同且上班迟到扣一半工资的行为，在多数情况下是不合理的，具体分析如下：
一、未签订劳动合同的法律后果
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果私人老板未与您签订劳动合同，您有权要求其支付双倍工资作为补偿。这一规定旨在保护劳动者的权益，确保劳动合同的签订，从而明确双方的权利和义务。
二、迟到扣工资的合理性分析
规章制度合法性：
- 私人老板扣工资的行为，必须基于合法、合理的规章制度。这些规章制度应当经过民主程序制定，且内容不违反法律、法规的强制性规定。
- 如果规章制度中未明确规定迟到扣工资的具体标准，或者规定本身违法（如扣工资比例过高），则老板的行为可能构成违法。
扣工资比例的合理性：
- 即使规章制度中规定了迟到扣工资，扣工资的比例也应当合理。一般来说，扣工资的比例不应过高，以免损害劳动者的基本生活权益。
- 扣一半工资的做法，在多数情况下可能被视为不合理。因为迟到一次就扣除一半工资，显然对劳动者过于苛刻，且可能违反了劳动法中关于工资支付的规定。
实际损失与扣工资的关系：
- 老板扣工资应当基于其因劳动者迟到而遭受的实际损失。如果迟到并未给老板造成实际损失，或者损失远小于扣工资的金额，则扣工资的行为可能缺乏合理性。
三、建议与行动
与老板协商：
- 首先，您可以尝试与老板进行协商，表达您对扣工资比例的不满，并要求其调整规章制度或扣工资的标准。
收集证据：
- 如果协商无果，您可以开始收集相关证据，如工资条、考勤记录、规章制度等，以证明老板的行为违法或不合理。
申请劳动仲裁：
- 如果证据充分，您可以向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求老板支付未签订劳动合同的双倍工资差额，并返还被不合理扣除的工资。
寻求法律援助：
- 在整个过程中，如果您感到困惑或无助，可以寻求专业律师的法律援助。作为专注于劳动工伤领域的律师，我可以为您提供专业的法律咨询和代理服务。
总结：私人老板未签订劳动合同且上班迟到扣一半工资的行为，在多数情况下是不合理的。您有权要求老板支付双倍工资作为补偿，并返还被不合理扣除的工资。如果老板拒绝履行义务，您可以通过协商、申请劳动仲裁或寻求法律援助等途径来维护自己的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。