结论：员工合同到期不续签，针对刚进公司前三年未给上保险的情况，一般是可以要求公司补缴社会保险的，但具体能否实现及操作方式需分情况讨论。以下为详细分析：
根据《中华人民共和国社会保险法》的相关规定，用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记，并按时足额缴纳社会保险费。这包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险和生育保险。因此，公司前三年未给您缴纳社会保险，显然违反了法律规定。
在职期间或离职后短期内：如果您仍在公司工作，或者刚离职不久（具体时间限制可能因地区而异，一般建议在离职后一年内），您可以直接向公司提出补缴社会保险的要求。如果公司拒绝，您可以向当地的社会保险行政部门（如社保局）投诉，要求公司补缴。
离职后较长时间：如果您已经离职较长时间，且超过了当地规定的投诉时效（如一年），虽然理论上您仍然有权要求公司补缴，但实际操作中可能会面临更多困难。此时，您可以尝试与公司协商，看是否能够达成补缴的协议。如果协商无果，您也可以考虑通过法律途径解决，但需注意诉讼时效的问题。
收集证据：首先，您需要收集能够证明您与公司存在劳动关系以及公司未为您缴纳社会保险的证据，如劳动合同、工资条、工作证等。
向社保部门投诉：携带相关证据，向当地的社会保险行政部门投诉，说明情况并要求公司补缴社会保险。
协商或诉讼：如果社保部门无法直接解决问题，您可以尝试与公司协商补缴事宜。如果协商无果，您可以考虑向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或者向人民法院提起诉讼。
时效问题：请注意，劳动争议的诉讼时效一般为一年，从您知道或者应当知道权利被侵害之日起计算。因此，如果您决定通过法律途径解决，请务必在时效期内提起诉讼或申请仲裁。
补缴范围：补缴社会保险通常包括养老保险、医疗保险等，但具体补缴范围可能因地区和政策而异。请您在投诉或诉讼前，了解清楚当地的具体政策。
经济成本：通过法律途径解决争议可能需要支付一定的律师费、诉讼费等经济成本。请您在决定采取行动前，充分考虑这些成本是否在您的承受范围内。
如果您在处理此类问题时遇到任何困难或疑问，欢迎随时向我咨询。