事业单位一般工作人员违规兼职，通常由事业单位内部的管理部门或上级主管部门进行处理，具体处理部门可能因单位性质和管理架构的不同而有所差异。以下是对此问题的详细分析：
一、事业单位内部处理机制
人事部门或纪检监察部门：
- 在大多数事业单位中，人事部门或纪检监察部门是负责员工行为规范和纪律处分的主要部门。当发现员工违规兼职时，这些部门会依据单位内部的规章制度进行调查核实，并根据违规情节的轻重，给予相应的纪律处分，如警告、记过、降级、撤职等。
单位领导层：
- 对于情节较为严重的违规兼职行为，单位领导层（如院长、校长、所长等）可能会直接介入处理，决定是否给予更严厉的处分，甚至解除劳动合同或聘用关系。
二、上级主管部门或相关监管机构
上级主管部门：
- 如果事业单位属于某个更大的系统或部门（如教育局、卫生局等），那么上级主管部门在发现下属单位员工违规兼职时，也有权进行调查处理。上级主管部门可能会根据违规行为的性质和影响，对事业单位本身进行问责，并要求其加强内部管理，防止类似事件再次发生。
相关监管机构：
- 在某些特定行业或领域，事业单位员工违规兼职可能还涉及到行业监管机构（如银保监会、证监会等）的管辖范围。这些监管机构在发现违规行为后，会依据相关法律法规进行调查处理，并可能对违规个人或单位进行行政处罚。
三、法律后果与风险提示
- 纪律处分：违规兼职的员工可能面临事业单位内部的纪律处分，这些处分会影响其职业发展和声誉。
- 解除劳动合同或聘用关系：对于情节严重的违规兼职行为，事业单位有权解除与员工的劳动合同或聘用关系，导致员工失去工作。
- 法律责任：如果违规兼职行为同时违反了相关法律法规（如《公务员法》、《事业单位工作人员处分暂行规定》等），员工还可能面临法律责任，包括行政处罚和刑事责任。
四、建议与措施
- 加强内部管理：事业单位应建立健全内部管理制度，明确员工兼职的规范和要求，加强日常监督和检查，防止违规兼职行为的发生。
- 提高法律意识：员工应增强法律意识，了解并遵守相关法律法规和单位规章制度，避免违规兼职行为带来的法律风险。
- 及时沟通与报告：如果员工确实需要兼职，应事先向单位报告并获得批准，确保兼职行为合法合规。
如果您或您身边的人遇到事业单位工作人员违规兼职的问题，或者对此有任何疑问，欢迎直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供专业的法律意见和帮助。