结论前置：公司在开除员工时，必须严格依照《劳动法》及《劳动合同法》的相关规定进行，不能仅依据公司自身的意愿或规定来决定。具体来说，公司需确保开除行为有合法的理由，并遵循法定的程序，否则可能面临支付经济补偿或赔偿金，甚至劳动合同继续履行的法律后果。

一、合法开除的情形及程序

公司可以合法开除员工的情形主要包括以下几种，且每种情形都有明确的法律依据和程序要求：

1. 试用期不符合录用条件：

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第一项。
   • 程序要求：公司需明确规定录用条件，并书面告知员工。在试用期内，公司需有证据证明员工不符合这些条件，才能合法开除。

2. 严重违反规章制度：

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第二项。
   • 程序要求：公司的规章制度需合法制定，经过民主程序，并向员工公示。员工的行为需达到“严重”违反的程度，公司才能开除。

3. 严重失职或营私舞弊：

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第三项。
   • 程序要求：公司需明确界定“重大损害”的标准，并能证明员工的失职、营私舞弊行为与损害结果之间的因果关系。

4. 建立双重劳动关系且影响工作：

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第四项。
   • 程序要求：公司需有证据证明员工同时与其他单位建立劳动关系，并对本单位工作造成严重影响，或经公司提出后拒不改正。

5. 劳动合同无效：

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第五项。
   • 程序要求：因员工欺诈、胁迫手段或乘人之危导致劳动合同无效，公司可以开除。

6. 被追究刑事责任：

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第六项。
   • 程序要求：员工被人民法院判处刑罚或被免予起诉、刑事处分等情况，公司可以开除。

额外程序要求：根据《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第四十七条，如果公司建立了工会组织，在解除劳动合同时还需事先通知工会，否则可能面临支付赔偿金的风险（但起诉前补正有关程序的除外）。

二、需要支付经济补偿的情形

如果员工无过错，但公司因非过错性合法原因需辞退员工，如员工患病或非因工负伤后不能从事原工作，或劳动合同订立时的客观情况发生重大变化导致合同无法履行，公司需支付经济补偿。经济补偿的标准按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。

三、违法开除的后果

若公司无合法理由随意开除员工，则属于违法解除劳动合同，需承担以下后果：

1. 支付赔偿金：公司需支付经济补偿标准的二倍作为赔偿金给员工。赔偿金的计算公式为：赔偿金 = 经济补偿金 × 2。其中，经济补偿金按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。月工资是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资，且若员工月工资高于公司所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。

2. 继续履行合同：员工有权要求继续履行劳动合同，公司需恢复劳动关系并补发工资等。

四、劳动者的维权途径

若公司违法开除员工，劳动者可通过以下途径维权：

1. 申请劳动仲裁：向劳动仲裁委员会提出申请，要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。
2. 提起诉讼：如对劳动仲裁结果不满意，可向人民法院提起诉讼，维护合法权益。

总结与建议：公司在开除员工时，应严格遵守法律规定，确保开除行为的合法性和合理性。同时，加强内部管理，完善规章制度，明确员工权利和义务，以减少劳动纠纷的发生。如果公司面临开除员工的情况，建议先咨询专业律师，确保每一步都符合法律要求，避免不必要的法律风险。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。