针对您提出的“被申请人在行政复议期间自行纠错的行政复议案件应该如何处理”这一问题，我们可以从以下几个方面进行详细解答：

一、法律依据与原则

首先，我们需要明确的是，当被申请人在行政复议期间自行纠错时，这一行为是符合行政复议制度目的的，即纠正违法的行政行为，保护公民、法人和其他组织的合法权益。新修订的《中华人民共和国行政复议法》以及相关法律法规，如《中华人民共和国政府信息公开条例》等，都为这一情况的处理提供了法律依据。

二、具体处理流程

1. 被申请人自行纠错：

   • 被申请人在行政复议期间，如果发现其原行政行为存在错误或不当，有权自行撤销或变更原行政行为，并作出新的行政行为。这一行为应当及时、明确，并通知行政复议机关和申请人。

2. 行政复议机关的处理：

   • 行政复议机关在收到被申请人自行纠错的通知后，应当对新的行政行为进行审查。审查的内容包括新行为的合法性、合理性以及是否符合行政复议的目的。
   • 如果新行为符合法律规定，且解决了原行政行为的问题，行政复议机关可以视为申请人已经撤回了行政复议申请，或者根据申请人的意愿，决定终止行政复议程序。
   • 如果新行为仍然存在问题，或者申请人对新行为不服，行政复议机关应当继续对原行政行为和新行为进行审查，并作出相应的行政复议决定。

3. 申请人的权利：

   • 申请人有权对被申请人自行纠错后的新行政行为提出异议或继续申请行政复议。如果申请人认为新行为仍然侵犯了其合法权益，可以在法定期限内向行政复议机关提出新的行政复议申请。
   • 申请人也有权选择撤回原行政复议申请，如果其认为被申请人自行纠错已经满足了其诉求。

三、案例参考

以您提供的案例为例，居民王某向某市规划和自然资源委员会提交《政府信息公开申请表》，要求公开〔2012〕X号文件。该委初次答复称文件不存在，后王某申请行政复议。在行政复议期间，该委撤销初次答复并作出新的答复决定公开文件。这一情况下，行政复议机关可以审查新答复的合法性和合理性。如果新答复符合法律规定，且解决了王某的诉求，行政复议机关可以视为王某已经撤回了行政复议申请，或者根据王某的意愿决定终止行政复议程序。

四、注意事项

• 被申请人在自行纠错时，应当确保新行为的合法性和合理性，避免出现新的错误或不当行为。
• 行政复议机关在处理此类案件时，应当保持公正、客观的态度，依法审查新行为的合法性和合理性。
• 申请人应当及时了解被申请人自行纠错的情况，并根据自己的诉求和法律规定，选择合适的处理方式。

综上所述，被申请人在行政复议期间自行纠错的行政复议案件，应当根据新行为的合法性和合理性以及申请人的意愿进行处理。行政复议机关应当依法审查新行为，并作出相应的行政复议决定。