法院依职权启动再审的刑事案件，再审期间公诉机关撤回起诉的，法院需根据不同情形作出处理，具体如下：

1. 若法院审查后认为撤回起诉符合法定条件
   根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国刑事诉讼法〉的解释》第四百六十九条，法院需对公诉机关撤回起诉的请求进行审查。若审查后认为符合以下条件，法院应裁定准许撤回起诉：

   • 案件事实、证据或法律适用无争议，且撤回起诉不损害国家利益、社会公共利益或他人合法权益；
     
   • 公诉机关撤回起诉的理由合法、合理（如证据不足、法律适用错误等）。
     处理结果：法院裁定准许撤回起诉后，原判决、裁定视为撤销，案件终止审理。

2. 若法院审查后认为撤回起诉不符合法定条件
   若法院认为公诉机关撤回起诉的理由不成立，或撤回起诉可能损害国家利益、社会公共利益或他人合法权益（如被害人权益），则法院应不准许撤回起诉，并继续审理案件。
   处理结果：法院继续审理后，需根据再审审查结果作出判决：

   • 若原判决、裁定确有错误，应依法改判或撤销原判、发回重审；
     
   • 若原判决、裁定无错误，应裁定驳回再审申请或维持原判。

3. 特殊情形：再审期间发现新事实或证据
   若再审期间发现原判决、裁定认定事实确有错误，且公诉机关撤回起诉的请求与新事实、证据相关（如原判证据系伪造、新证据证明无罪等），法院需结合新事实、证据综合判断：

   • 若新事实、证据足以推翻原判，且公诉机关撤回起诉的理由成立，法院可准许撤回起诉；
     
   • 若新事实、证据证明原判错误但公诉机关仍坚持起诉，法院应不准许撤回起诉，并依法改判。

总结：再审期间公诉机关撤回起诉的处理需以法院审查为核心，重点判断撤回起诉是否符合法定条件、是否损害公共利益或他人权益。若您涉及具体案件，可进一步向我咨询细节，我将结合案情提供针对性分析。