结论：针对老人在医院陪护摔伤而对方不肯赔偿的情况，您可以先尝试与对方协商，协商不成则可以考虑通过法律途径解决，包括向法院提起诉讼或申请调解。以下是对此问题的详细分析：
一、责任认定
医院责任：
- 如果医院在设施、管理等方面存在过错，如地面湿滑未设置警示标志、设施损坏未及时修复等，导致老人摔伤，那么医院应当承担相应的赔偿责任。
- 根据《民法典》的相关规定，宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。
老人自身责任：
- 如果老人摔伤是由于自身原因，如疏忽大意、未注意周围环境等，那么老人自身也可能需要承担一定的责任。
- 在这种情况下，赔偿责任的划分将根据双方的具体过错程度来确定。
第三方责任：
- 如果摔伤是由于第三方的行为导致的，如其他患者或家属的故意或过失行为，那么第三方应当承担相应的赔偿责任。
二、解决途径
协商：
- 在责任明确后，您可以先尝试与对方（医院或第三方）进行协商，寻求和解。
- 协商时，可以提出合理的赔偿要求，并保留好相关证据，如医疗记录、照片、视频等，以支持自己的主张。
调解：
- 如果协商不成，您可以考虑向当地的调解委员会或相关机构申请调解。
- 调解是一种相对快速、经济的解决纠纷方式，可以在不破坏双方关系的前提下达成和解。
诉讼：
- 如果调解也无法解决问题，您可以向法院提起诉讼，要求对方承担赔偿责任。
- 在诉讼过程中，您需要提供充分的证据来证明对方的过错以及自己的损失。
- 法院将根据事实和法律规定，作出公正的判决。
三、注意事项
保留证据：
- 在处理此类纠纷时，保留好所有相关证据至关重要。
- 包括但不限于医疗记录、照片、视频、证人证言等，这些证据将在协商、调解或诉讼过程中发挥关键作用。
及时行动：
- 不要拖延时间，及时采取行动以维护自己的合法权益。
- 时间的流逝可能会导致证据的丢失或减弱，从而影响赔偿请求的成立。
寻求专业帮助：
- 如果您对法律程序或赔偿计算等方面不熟悉，可以考虑咨询专业律师或法律机构。
- 他们可以提供专业的法律建议和帮助，确保您的权益得到充分保障。
最后，针对老人在医院陪护摔伤而对方不肯赔偿的情况，您应当先明确责任归属，然后根据实际情况选择合适的解决途径。如果您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。