结论：公司员工在仲裁期间做直播带单位名称是否违法，需根据具体情况判断，主要看是否侵犯公司权益或违反相关法律法规及公司规章制度。以下从不同角度进行分析：

1. 从公司权益保护角度

   • 若直播内容涉及公司商业秘密或敏感信息：员工在直播中泄露公司商业秘密、客户信息、技术秘密等敏感内容，即使带有单位名称，也构成对公司权益的侵犯，可能违反《反不正当竞争法》等相关法律法规，公司有权要求员工停止侵权行为，并可能追究其法律责任。
   • 若直播内容对公司形象造成负面影响：员工在直播中发表对公司不利的言论，或展示公司负面形象，即使带有单位名称，也可能损害公司声誉，公司有权要求员工停止此类行为，并可能依据公司规章制度或劳动合同中的相关条款对员工进行处理。

2. 从员工行为合规性角度

   • 若员工直播行为违反公司规章制度：许多公司都有明确的规章制度，禁止员工在未经授权的情况下使用公司名称、标志或进行与公司业务相关的宣传活动。若员工违反这些规定，公司有权依据规章制度对员工进行处罚，包括但不限于警告、罚款、解除劳动合同等。
   • 若员工直播行为未违反公司规章制度但违反法律法规：即使公司规章制度未明确禁止员工直播带单位名称，但若员工在直播中从事违法活动（如诈骗、传播虚假信息等），则不仅可能面临法律责任，还可能对公司造成连带责任，影响公司声誉和业务。

3. 从劳动仲裁期间员工行为限制角度

   • 劳动仲裁期间员工应遵守的基本义务：在劳动仲裁期间，员工应遵守法律法规和公司规章制度，不得从事损害公司利益的行为。若员工在直播中带单位名称并从事上述损害公司利益的行为，公司有权在仲裁过程中提出抗辩，并可能要求员工承担相应责任。
   • 劳动仲裁对员工直播行为的直接影响：劳动仲裁本身并不直接限制员工直播带单位名称的行为，但若该行为与仲裁事项相关（如涉及工资、福利、解雇等争议），则可能成为仲裁过程中的一个考量因素。

建议：

• 对于员工：在仲裁期间，应谨慎处理与公司相关的事务，避免在直播等公开场合发表可能损害公司利益的言论或展示公司负面形象。若需使用公司名称或标志进行直播等活动，应事先征得公司同意并遵守相关规章制度。
• 对于公司：应建立健全的规章制度，明确禁止员工在未经授权的情况下使用公司名称、标志或进行与公司业务相关的宣传活动。同时，加强员工培训和教育，提高员工法律意识和合规意识。在发现员工有违规行为时，应及时采取措施予以制止并依法处理。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。