当股东被判承担补充责任时，其执行过程主要依据相关法律法规，并围绕股东的具体责任情形来展开。以下是对这一执行过程的详细阐述：
一、明确股东承担补充责任的具体情形
股东承担补充责任通常涵盖以下几种情形，这些情形均基于明确的法律规定：
出资不足或未全面履行出资义务：
- 若股东未按约定足额出资，或在公司成立后非法转移出资（如抽逃出资），当公司对外负债且无法清偿时，债权人有权要求股东在未出资或抽逃出资的本息范围内，对公司不能清偿的债务承担补充赔偿责任。
公司增资时的过错责任：
- 若公司在增资过程中，股东未按规定足额缴纳新增资本，导致公司资本不实，该股东需对因此导致的公司债务不能清偿部分承担补充赔偿责任。
一人公司股东财产混同：
- 一人有限责任公司股东若不能证明公司财产独立于个人财产，当公司资产无法偿还债务时，股东需对公司债务承担补充赔偿责任。
公司与股东人格混同：
- 若股东与公司业务、财务等严重混同，导致公司失去独立法人地位，股东可能需对公司债务承担连带责任，其中也包含补充责任的情况。
股东滥用权利逃避债务：
- 股东若滥用公司法人独立地位和有限责任逃避债务，如通过虚构交易转移公司资产，导致公司无法清偿债务，股东需对公司债务承担补充责任。
公司解散清算时的相关责任：
- 如股东在公司解散后怠于履行清算义务，导致公司主要财产丢失、账册文件找不到，无法正常清算；或公司清算时财产不足以偿债，而股东尚未缴纳剩余出资；或公司解散后股东恶意处置公司财产给债权人造成损失等，股东均需对公司债务承担相应的补充赔偿责任。
二、执行股东补充责任的具体步骤
确定责任范围：
- 根据法院判决或仲裁裁决，明确股东需承担的补充责任范围，包括具体金额、利息、违约金等。
向股东发出执行通知：
- 债权人或法院应向股东发出执行通知，要求其在规定期限内履行补充赔偿责任。
股东履行或申请异议：
- 股东应在规定期限内履行补充赔偿责任，或向法院提出异议，说明其不应承担补充责任的理由和证据。
法院审查与执行：
- 法院将对股东的异议进行审查，若异议不成立，将强制执行股东的财产以履行补充赔偿责任。执行过程中，法院可采取查封、扣押、冻结、拍卖等措施。
执行终结与结案
- 当股东完全履行补充赔偿责任后，法院将出具执行终结裁定，案件得以结案。若股东未完全履行，法院将继续执行其剩余财产，直至债务得到清偿。
三、注意事项
- 证据收集：债权人在申请执行股东补充责任时，应充分收集相关证据，如股东出资不实的证据、公司财产与股东财产混同的证据等。
- 法律程序：债权人应严格按照法律程序申请执行，避免因程序不当而导致执行失败。
- 股东权益保护：股东在接到执行通知后，若认为自身不应承担补充责任，应及时向法院提出异议，并提交相关证据以维护自身权益。
综上所述，股东被判承担补充责任的执行过程是一个涉及多个环节和法律程序的复杂过程。债权人应充分了解相关法律规定和执行步骤，以便在必要时采取法律措施维护自身权益。同时，股东也应积极履行自身义务，避免因不当行为而承担不必要的法律责任。