擅自砍伐城市树木将面临包括责令停止、罚款、赔偿损失以及补种树木等一系列处罚措施，若涉及古树名木，则处罚更为严厉，甚至可能追究刑事责任。以下是对此问题的详细分析：

法律依据与规定

根据《城市绿化条例》第二十条的明确规定，任何单位和个人都不得损坏城市树木花草和绿化设施。如需砍伐城市树木，必须事先获得城市人民政府城市绿化行政主管部门的批准，并需按照国家有关规定补植树木或采取其他补救措施。这一条例为城市绿化的保护提供了坚实的法律基础，确保了城市绿化的有序管理和可持续发展。

具体处罚措施

1. 责令停止违法行为：

   • 城市绿化行政主管部门在发现擅自砍伐行为后，会首先责令违法者立即停止侵害，以防止损害进一步扩大。这是行政处罚的第一步，旨在迅速制止违法行为，保护城市绿化资源。

2. 罚款：

   • 根据《城市绿化条例》及相关地方性法规，擅自砍伐城市树木的，将面临罚款处罚。具体罚款标准由各地根据实际情况制定，通常考虑砍伐树木的价值、情节严重程度等因素。例如，某些地方性法规可能规定，擅自砍伐树木的，按照树木价值的数倍进行罚款，以体现对违法行为的严厉打击。

3. 赔偿损失：

   • 违法者需对擅自砍伐树木造成的损失进行赔偿。损失计算不仅包括树木本身的经济价值，还涵盖其生态服务功能价值及可能造成的环境影响。这意味着，违法者不仅需要赔偿树木的直接经济损失，还需要承担因其行为对生态环境造成的间接损失。

4. 补种树木：

   • 作为补救措施之一，违法者可能被要求补种一定数量的树木，以恢复城市绿化生态。补种的具体要求会根据被砍伐树木的种类、规格和数量来确定。这一措施旨在通过补种树木来弥补因违法行为造成的绿化损失，促进城市绿化的恢复和发展。

特殊情况处理

对于擅自砍伐古树名木的行为，处罚将更加严厉。古树名木因其重要的历史、文化、科学和景观价值而受到特别保护。根据《城市古树名木保护管理办法》，砍伐或擅自迁移古树名木的，未构成犯罪的，将由城市园林绿化行政主管部门责令停止侵害并处以罚款；造成损失的，还需承担赔偿责任。若行为构成犯罪，则将依法追究刑事责任。这一规定体现了对古树名木的特殊保护，以及对严重违法行为的严厉打击。

总结与建议

擅自砍伐城市树木是严重的违法行为，不仅违反了法律法规，也损害了城市绿化资源和生态环境。因此，建议市民朋友增强法律意识，爱护城市绿化，共同维护我们的生态环境。如有需要砍伐树木的情况，务必先向相关部门申请并获得批准，确保合法合规。若遇到相关法律问题或纠纷，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。