在我国，有权适用刑事拘留的机关主要是公安机关和人民检察院。以下是对这一问题的详细分析：
一、公安机关
法律依据：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十二条，公安机关对于现行犯或者重大嫌疑分子，在符合特定条件时，可以先行拘留。
拘留条件：
- 正在预备犯罪、实行犯罪或者在犯罪后即时被发觉的；
- 被害人或者在场亲眼看见的人指认其犯罪的；
- 在身边或者住处发现有犯罪证据的；
- 犯罪后企图自杀、逃跑或者在逃的；
- 有毁灭、伪造证据或者串供可能的；
- 不讲真实姓名、住址，身份不明的；
- 有流窜作案、多次作案、结伙作案重大嫌疑的。
执行程序：
- 公安机关在决定拘留犯罪嫌疑人时，需要出示拘留证，并由县级以上公安机关负责人批准。
- 拘留后，应当立即将被拘留人送看守所羁押，至迟不得超过二十四小时。
- 除无法通知或者涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪通知可能有碍侦查的情形以外，应当在拘留后二十四小时以内，通知被拘留人的家属。
二、人民检察院
法律依据：
- 在办理自侦案件时，若犯罪嫌疑人符合拘留条件，人民检察院可决定拘留。
拘留条件：
- 犯罪后企图自杀、逃跑或者在逃的；
- 有毁灭、伪造证据或者串供可能的。
执行程序：
- 人民检察院作出拘留决定后，需由公安机关执行。
- 人民检察院对被拘留的人，应当在拘留后的二十四小时以内进行讯问。在发现不应当拘留的情况下，应当立即释放；如果认为需要逮捕的，则按照法定程序提请批准逮捕。
三、其他相关机关
- 人民法院：虽然人民法院不具有刑事拘留权，但拥有司法拘留的决定权，主要针对妨碍诉讼和执行的行为。
- 国家安全机关：在涉及国家安全犯罪的案件中，国家安全机关也有权采取强制措施，但刑事拘留主要由公安机关和人民检察院负责。
四、法律建议与后果
- 法律建议：对于被拘留的犯罪嫌疑人或其家属，应及时了解拘留的原因和法律依据，确保拘留措施的合法性和正当性。同时，应积极配合公安机关或人民检察院的调查工作，依法维护自己的合法权益。
- 法律后果：如果拘留措施不当或违法，被拘留人及其家属有权向有关部门提出申诉或控告，要求撤销错误的拘留决定并赔偿损失。
综上所述，刑事拘留权的行使必须严格遵循法律规定，确保法律的公正实施和当事人的合法权益得到保护。在实际操作中，各相关机关应密切配合，共同维护法律的尊严和权威。如果您或您的亲友涉及刑事拘留相关问题，可以直接向我咨询。