在工程完工后，如果总包不给分包签合同，分包一般不能直接起诉业主。以下是对此问题的详细分析：

1. 合同相对性原则：

   • 根据合同法的基本原理，合同具有相对性，即合同关系只能发生在特定的主体之间，只有合同当事人一方能够向合同的另一方当事人基于合同提出请求或提起诉讼。
   • 在本案例中，如果总包未与分包签订书面合同，但双方实际上存在分包关系并履行了相应的义务，那么这种关系仍然受到合同法的保护。然而，这种保护仅限于总包与分包之间，分包不能直接向业主主张权利。

2. 分包与业主的关系：

   • 分包与业主之间通常没有直接的合同关系。分包是通过总包承接工程的，其权利和义务主要是通过与总包之间的合同来约定的。
   • 因此，如果总包未履行与分包之间的合同义务（如未支付工程款或未签订书面合同），分包应当首先向总包主张权利。

3. 法律途径：

   • 如果分包与总包之间存在纠纷，分包可以通过协商、调解、仲裁或诉讼等方式来解决。
   • 在诉讼方面，分包可以向有管辖权的人民法院提起诉讼，要求总包履行相应的合同义务。
   • 如果分包认为业主与总包之间的合同关系对其权益产生了影响，且分包有充分的证据证明这一点，分包可以在诉讼中申请追加业主为第三人参加诉讼，但这并不意味着分包可以直接起诉业主。

4. 建议：

   • 分包在承接工程时，应尽可能与总包签订书面合同，明确双方的权利和义务。
   • 如果总包未履行合同义务，分包应及时采取措施维护自己的合法权益，包括与总包协商、寻求法律援助或提起诉讼等。

综上所述，分包在工程完工后如果总包不给签合同，一般不能直接起诉业主。分包应当首先向总包主张权利，并通过合法途径解决纠纷。