餐饮店未经物业和业主同意私自安装排风管道的行为，通常是不合法的。以下从不同角度对此问题进行分析：

一、从物业管理角度分析

根据《物业管理条例》的相关规定，业主、物业使用人应当按照规划部门批准的设计用途使用物业，不得擅自改变物业使用性质。餐饮店作为物业使用人，其安装排风管道的行为若涉及对物业共用部位、共用设施设备的改动或增设，应当事先征得相关业主和物业公司的同意。未经同意擅自安装，违反了物业管理规定，物业公司有权要求其停止侵害、恢复原状，并可能根据管理规约或合同约定追究其违约责任。

二、从相邻权角度分析

相邻权是指不动产的相邻各方在行使所有权或使用权时，因相互间依法应当给予方便或接受限制而发生的权利义务关系。餐饮店安装排风管道可能产生噪音、油烟等污染，对相邻业主的正常生活造成影响。根据《民法典》中关于相邻权的规定，相邻业主有权要求餐饮店停止侵害、排除妨碍、消除危险。若餐饮店的行为给相邻业主造成损失，相邻业主还有权要求其赔偿损失。

三、从城市规划与建设角度分析

若餐饮店安装排风管道的行为涉及对建筑物外立面的改动或增设，还可能违反城市规划与建设的相关规定。根据《城乡规划法》等法律法规，任何单位和个人进行建设活动，必须遵守城乡规划，服从规划管理。未经规划部门批准擅自安装排风管道，可能面临被责令停止建设、限期拆除或罚款等行政处罚。

法律建议

1. 与餐饮店协商：首先，可以尝试与餐饮店进行友好协商，要求其停止未经同意的安装行为，并恢复原状或采取其他补救措施。
2. 向物业公司反映：若协商无果，可以向物业公司反映情况，要求物业公司履行管理职责，制止餐饮店的违法行为。
3. 向相关部门投诉：若物业公司未能有效解决问题，可以向城市规划、建设、环保等部门投诉，请求相关部门依法处理。
4. 提起诉讼：若上述途径均未能解决问题，相邻业主或物业公司还可以考虑向人民法院提起诉讼，要求餐饮店承担相应的法律责任。

餐饮店未经物业和业主同意私自安装排风管道的行为是不合法的。若遇到此类问题，建议及时采取措施维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。