结论前置：

1. 工龄奖与离职补偿是不同性质的款项，工龄奖通常属于用人单位自主决定的福利，而离职时要求的一年补一个月工资（经济补偿金）是法定权利。
2. 工龄奖是否发放需看单位规定，法律未强制要求离职时必须支付工龄奖，但若单位规章制度或劳动合同中有明确约定，则应按约定执行。

详细分析：

1. 经济补偿金（一年补一个月工资）
   根据《劳动合同法》第四十七条，用人单位在解除或终止劳动合同时，需按劳动者在本单位的工作年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿。这是劳动者的法定权利，单位必须履行。

   • 计算方式：月工资指劳动者在劳动合同解除前十二个月的平均工资（含奖金、津贴等货币性收入）。
     
   • 适用情形：如单位提出解除合同、合同到期不续签、单位破产等（具体见《劳动合同法》第四十六条）。

2. 工龄奖的性质与发放
   工龄奖是用人单位为鼓励员工长期服务而设立的奖励，属于单位自主福利，法律未规定其必须发放或离职时需支付。

   • 若单位规章制度或劳动合同中明确约定“工龄奖按工作年限逐年发放，离职时一次性支付”，则单位应履行约定；
     
   • 若无约定，单位可自主决定是否发放，劳动者无权强制要求。
     
   • 注意：若单位以“工龄奖”名义变相规避经济补偿金（如将法定补偿包装为工龄奖），可能涉嫌违法，劳动者可主张权利。

3. 实务建议

   • 劳动者：离职前应核对劳动合同、单位规章制度中关于工龄奖的约定，保留相关证据（如制度文件、工资条等）；若单位拒付法定经济补偿金，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
     
   • 用人单位：应明确工龄奖的发放规则（如是否随离职终止），避免因约定不明引发纠纷；经济补偿金必须依法支付，否则需承担加付赔偿金等法律责任。

总结：工龄奖与经济补偿金是独立的两笔款项，前者取决于单位规定，后者是法定义务。如有具体争议，可进一步提供细节，我将为您详细分析。