核心结论：是否需要退还增收节支奖金，需结合奖金性质、发放条件、劳动合同约定及医院规章制度综合判断，具体分以下情况处理。

1. 若奖金属于“一次性奖励”且无附加条件

若医院发放的增收节支奖金是针对特定项目或时期的奖励（如年度节约成本奖励），且发放时未明确约定“离职需退还”，则医院无权要求退还。
法律依据：根据《劳动合同法》第3条，劳动者有权获得劳动报酬，包括奖金。若奖金已实际发放且无附加条件，医院单方面要求退还可能构成违法。
建议：可拒绝退还，并要求医院提供书面依据。若医院坚持，可向当地劳动监察部门投诉。

2. 若奖金属于“预支性质”或附条件发放

若医院在发放奖金时明确约定“离职需退还”（如通过书面协议、规章制度或劳动合同条款），且该约定不违反法律强制性规定，则可能需退还。
法律依据：根据《劳动合同法》第17条，劳动合同可约定服务期、保密义务等条款。若奖金发放与特定服务期挂钩（如“需工作满3年方可获得”），且劳动者未履行服务期，医院可能要求退还。
例外情形：若约定条款显失公平（如奖金金额远低于劳动者实际贡献），劳动者可主张条款无效。
建议：核查奖金发放时的书面约定，若存在附条件条款，需评估其合法性。若认为条款不合理，可申请劳动仲裁。

3. 若医院规章制度违反法律规定

若医院通过内部规章制度要求退还奖金，但该制度未经过民主程序（如职工代表大会讨论）或未公示，则可能无效。
法律依据：根据《劳动合同法》第4条，用人单位制定规章制度需经民主程序并公示，否则对劳动者不产生约束力。
建议：要求医院提供制度制定及公示的证据。若无法提供，可拒绝退还。

4. 若奖金属于“福利性质”或“口头约定”

若奖金是医院自主发放的福利（如节日补贴），或仅通过口头承诺发放，则医院无权要求退还。
法律依据：福利属于用人单位自主管理范畴，但需遵循公平原则。口头约定若无证据支持，难以被法院采信。
建议：保留奖金发放的证据（如银行流水、同事证言），若医院无合理依据，可拒绝退还。

行动建议

1. 核查依据：要求医院提供要求退还的书面依据（如劳动合同、规章制度、奖金发放协议）。
   
2. 协商解决：与医院沟通，明确拒绝无依据的退还要求。
   
3. 投诉或仲裁：若协商无果，可向当地劳动监察部门投诉，或申请劳动仲裁。
   

提示：法律对奖金退还的认定需结合具体证据，建议整理相关材料（如奖金发放记录、劳动合同、医院通知等）以便进一步分析。如有疑问，可直接向我咨询具体细节。