事业单位在公示期间收到员工婚内出轨举报，处理方式需分情况讨论，核心结论如下：

1. 若举报内容属实且违反单位规章制度
   事业单位通常会在内部规章制度中明确对员工道德品行的要求（如《事业单位工作人员处分暂行规定》第二十一条）。若婚内出轨行为被认定为“严重违反社会公德”或“损害单位声誉”，单位可能依据规章制度给予警告、记过、降级、撤职甚至开除处分。
   关键点：单位需证明出轨行为与工作相关或对单位造成实质影响（如引发舆论危机），否则可能因“处分依据不足”被质疑。

2. 若举报内容不实或证据不足
   单位需遵循“谁主张谁举证”原则，要求举报人提供合法证据（如聊天记录、录音、证人证言等）。若证据无法形成完整链条，单位不得仅凭举报直接处分员工，否则可能侵犯员工名誉权或构成违法解除劳动关系。
   风险提示：单位若在公示期因不实举报取消录用，需承担举证责任，否则可能面临员工索赔。

3. 公示期的特殊性质
   公示期本质是“拟录用/晋升信息的公开征求意见阶段”，单位对举报的处理需更谨慎：

   • 若涉及拟录用人员：单位可能暂停录用程序，待调查清楚后再决定是否录用；
     
   • 若涉及拟晋升人员：单位可能取消晋升资格，或延期考察。
     法律依据：根据《事业单位公开招聘人员暂行规定》第二十七条，单位需对公示期间反映的问题核实清楚，但不得滥用权力随意否定录用/晋升。

建议：若您是举报方，需确保证据合法有效；若您是被举报方，可要求单位启动调查程序并维护自身权益；若您是单位，建议委托律师制定调查流程，避免程序违法。具体问题可进一步向我咨询。