博士生导师与校外培训机构签约是否合法，需根据具体情况判断，但一般情况下，只要签约内容不违反法律法规的强制性规定，且双方意思表示真实，该签约行为就是合法的。以下从不同角度进行分析：
合法签约的情形
签约内容合法：
- 博士生导师与校外培训机构签订的合同，若内容不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗，且双方对合同条款达成一致，那么该签约行为就是合法的。
- 例如，双方签订的是关于学术交流、合作研究或教学辅导的合同，且合同条款明确、合理，没有侵犯任何一方的合法权益，这样的签约就是合法的。
双方意思表示真实：
- 签约双方必须基于真实的意思表示进行签约，即博士生导师和校外培训机构在签订合同时，都是出于自愿，没有受到欺诈、胁迫或重大误解等影响。
- 如果双方是在平等、自愿的基础上签订的合同，且合同内容反映了双方的真实意愿，那么该签约行为就是合法的。
可能存在的非法签约情形
签约内容违法：
- 如果博士生导师与校外培训机构签订的合同内容违反了法律、行政法规的强制性规定，如涉及非法办学、传销、诈骗等违法行为，那么该签约行为就是非法的。
- 例如，双方签订的是关于非法获取学生信息、进行不正当竞争或侵犯他人知识产权的合同，这样的签约就是非法的。
签约程序违法：
- 签约程序也可能影响签约的合法性。如果签约过程中存在违反法定程序的行为，如未按照学校规定进行审批、未进行公开招标等，也可能导致签约行为非法。
- 例如，博士生导师未经学校同意，擅自与校外培训机构签订合作协议，且该协议涉及学校资源或名誉的使用，这样的签约就可能因程序违法而无效。
法律建议
审查合同内容：
- 博士生导师在与校外培训机构签约前，应仔细审查合同内容，确保合同条款合法、合理，不侵犯任何一方的合法权益。
- 如果对合同条款有疑问或不确定，可以咨询专业律师或法律顾问的意见。
遵守签约程序：
- 博士生导师应遵守学校或相关机构的签约程序，确保签约过程合法、合规。
- 如果签约涉及学校资源或名誉的使用，应事先获得学校的同意或授权。
保留证据：
- 签约后，博士生导师应妥善保管合同文本及相关证据，以备不时之需。
- 如果发生纠纷或争议，这些证据将有助于维护自己的合法权益。
如果博士生导师与校外培训机构在签约过程中遇到任何法律问题或困惑，可以直接向我咨询。我会根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。