护士长对转正后一直工作不负责任且说教无用的护士，是否可以辞退，需分情况讨论：

1. 若护士的行为构成严重违反用人单位规章制度：

   • 根据《劳动合同法》的相关规定，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。在此情况下，如果医院有明确的规章制度，且该规章制度中明确规定了工作不负责任属于严重违反规章制度的行为，同时该规章制度已经过民主程序制定并公示给员工，那么护士长或医院有权依据此规定辞退该护士。
   • 建议：医院应确保规章制度的合法性和合理性，并严格按照规章制度执行。在辞退前，应给予护士充分的陈述和申辩机会，确保辞退决定的公正性。

2. 若护士的行为未构成严重违反用人单位规章制度，但确实存在工作不负责任的情况：

   • 在此情况下，医院不能直接辞退护士，但可以采取其他管理措施，如警告、记过、降薪、调岗等。如果经过这些措施后，护士仍然不改正，且其行为对医院的工作秩序或患者安全造成了严重影响，医院可以考虑依据《劳动合同法》中关于“劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的”规定，提前三十日以书面形式通知护士本人或者额外支付护士一个月工资后，解除劳动合同。
   • 但需注意：医院需要证明护士确实不能胜任工作，且已经经过了培训或调整工作岗位的程序。这通常需要医院提供相应的证据，如工作表现记录、培训记录、调岗通知等。

3. 若护士的行为既未构成严重违反规章制度，也未达到不能胜任工作的程度：

   • 在此情况下，医院无权直接辞退护士。医院应继续通过沟通、教育、培训等方式，帮助护士改进工作态度和提高工作能力。如果护士的行为确实对医院的工作造成了负面影响，医院可以考虑与护士协商解除劳动合同，或者依据劳动合同中的其他约定来处理。
   • 建议：医院在与护士协商时，应确保协商过程的合法性和公正性，避免引发劳动争议。

额外提醒：

• 在处理此类问题时，医院应确保所有决策和行动都符合法律法规的要求，避免因违法解除劳动合同而引发劳动争议和法律责任。
• 如果护士对医院的辞退决定不服，她有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。

总结：护士长或医院是否可以辞退工作不负责任的护士，取决于护士的行为是否构成严重违反用人单位规章制度或不能胜任工作。在处理此类问题时，医院应确保决策的合法性和公正性，并遵循相应的法律程序。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。