若劳动合同纠纷案法律程序走完多年后，当事人发现新证据足以推翻原判决，可采取以下措施：

1. 申请再审：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审。若新证据能够证明原判决存在错误，如事实认定不清、法律适用错误等，当事人有权提出再审申请。
   • 操作建议：当事人应尽快整理新证据，并撰写详细的再审申请书，说明新证据的内容、来源以及如何证明原判决存在错误。随后，将再审申请书及相关证据提交至上一级人民法院，启动再审程序。

2. 考虑证据的时效性与证明力：

   • 时效性：虽然发现新证据的时间可能较晚，但法律并未明确规定再审申请必须在发现新证据后的一定期限内提出。然而，从实际操作角度考虑，尽早提出再审申请有助于法院及时审查并作出决定。
   • 证明力：新证据必须具有足够的证明力，能够直接或间接地证明原判决存在错误。若新证据的证明力较弱，可能无法说服法院启动再审程序。因此，当事人在提交新证据前，应充分评估其证明力。

3. 寻求法律援助或专业律师帮助：

   • 法律援助：若当事人经济条件有限，无法承担律师费用，可向当地法律援助机构申请法律援助。法律援助机构将指派专业律师为当事人提供法律帮助。
   • 专业律师帮助：考虑到再审程序的复杂性和专业性，当事人可寻求专业律师的帮助。律师将协助当事人整理证据、撰写再审申请书，并在再审过程中提供法律支持。

4. 关注再审结果并采取相应措施：

   • 再审结果：法院将对再审申请进行审查，并决定是否启动再审程序。若法院决定启动再审程序，将重新审理案件并作出新的判决。
   • 相应措施：根据再审结果，当事人可采取相应措施。若再审判决支持了当事人的诉求，当事人可依法申请执行；若再审判决未支持当事人的诉求，当事人可考虑是否进一步采取法律措施，如申请抗诉等。

在处理此类情况时，当事人还需注意以下法律后果：

• 再审申请被驳回的风险：若新证据的证明力不足或再审申请不符合法律规定，法院可能驳回再审申请。此时，当事人需接受原判决的结果。
• 再审程序的时间成本：再审程序可能耗时较长，当事人需做好心理准备并合理安排时间。
• 执行再审判决的义务：若再审判决支持了当事人的诉求，当事人有义务依法申请执行并配合法院的执行工作。

建议：在发现新证据后，当事人应尽快咨询专业律师，评估新证据的证明力和再审申请的可能性。同时，当事人应保持与法院的沟通，及时了解再审程序的进展情况。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可直接向我咨询。