结论前置：当用人单位未续签劳动合同却继续用工时，劳动者在符合特定条件下有权要求用人单位支付二倍工资赔偿。具体赔偿情况需根据未续签的时间长度、双方协商过程及劳动者的实际行为等因素综合判断。

一、法律依据与赔偿条件

根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一条款同样适用于劳动合同到期未续签但劳动者继续工作的情况。具体来说，赔偿条件包括：

1. 原劳动合同到期：存在一个已经到期的劳动合同，作为讨论未续签双倍工资的前提。
2. 未续签书面劳动合同：原合同到期后，用人单位未及时与劳动者续签新的书面劳动合同。
3. 劳动者继续提供劳动：劳动者在合同到期后仍在用人单位正常工作，双方存在事实劳动关系。
4. 时间限制：自原劳动合同到期之日起超过一个月不满一年未续签书面劳动合同；若超过一年仍未续签，则视为已订立无固定期限劳动合同，但在此之前的时间段内，用人单位仍需支付二倍工资。

二、赔偿计算方式

• 起算时间：从原劳动合同到期后的第二个月开始计算。例如，若原合同到期日为2023年1月1日，则起算时间为2023年2月1日。
• 截止时间：续签书面劳动合同之日或满一年前的最后一日（以先到者为准）。若用人单位在2023年6月1日与劳动者续签了书面劳动合同，则截止时间为2023年5月31日。
• 计算基数：通常以劳动者正常工作时间的月工资为准，不包括加班工资、非常规性奖金、福利性及风险性等项目。具体数额需根据劳动者的实际工资情况确定。

计算公式：二倍工资赔偿额 = 正常月工资 × 未续签月数（最多11个月）

三、责任归属与特殊情况

1. 劳动者责任：如劳动者自身原因导致未续签劳动合同（如拒绝续约、提出过高要求等），用人单位无需支付双倍工资。用人单位需对此承担举证责任，例如提供劳动者拒绝续签的书面证据或录音录像等。
2. 用人单位诚意协商：若用人单位能证明已尽诚意与员工协商续约条件，但员工仍不签，或员工希望以更高条件续约，用人单位同样无需支付双倍工资。这要求用人单位提供充分的证据证明其已尽到协商义务，如协商记录、邮件往来等。
3. 不可抗力或特殊情况：如因自然灾害、政府行为等不可抗力因素导致未能及时续签，或双方因特殊原因（如劳动者患病、工伤等）暂时无法续签，需根据具体情况判断是否免除用人单位的赔偿责任。

四、举证责任与维权途径

• 举证责任：劳动者主张未续签劳动合同双倍工资时，需承担以下举证责任：

  • 存在劳动关系：可通过工资支付凭证、工作证、考勤记录、同事证言等证据证明。
  • 原劳动合同到期时间：提供原劳动合同作为证据。
  • 未续签书面劳动合同的事实：如用人单位未提供续签合同、劳动者未收到续签通知等证据。

• 维权途径：

  • 与用人单位协商：首选友好协商解决，既维护权益又保持良好关系。
  • 申请劳动仲裁：协商不成时，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提供相关证据证明劳动关系及未续签但继续工作的事实。
  • 提起诉讼：对仲裁结果不满意，可向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护合法权益。

五、实例说明

假设小李的劳动合同在2023年1月1日到期，公司未续签但小李继续工作至2023年6月1日才补签书面劳动合同。在此情况下，公司需支付2023年2月1日至5月31日的二倍工资。若小李的正常月工资为5000元，则公司需支付的二倍工资赔偿额为：5000元 × 4个月 = 20000元。

综上所述，当用人单位未续签劳动合同却继续用工时，劳动者在符合特定条件下有权要求用人单位支付二倍工资赔偿。在处理这类问题时，建议劳动者及时收集证据并咨询专业律师（即我本人，刁成路律师，专注于合同纠纷领域），以获取更具体和个性化的法律建议。