派遣工通常不可以主张与工厂（实际用工单位）存在劳动关系，而是与劳务派遣单位建立劳动关系。以下从不同角度为您详细分析：
法律关系认定
劳务派遣单位与派遣工的关系：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条，劳务派遣单位是用人单位，应当履行用人单位对劳动者的义务。
- 劳务派遣单位与被派遣劳动者订立的劳动合同，除应当载明常规劳动合同内容外，还需明确被派遣劳动者的用工单位、派遣期限及工作岗位等信息。
- 这意味着派遣工由劳务派遣单位招聘、录用，并与之签订正式的劳动合同，劳务派遣单位负责为派遣工发放工资、缴纳社保，承担用人单位的主要责任。
实际用工单位与派遣工的关系：
- 实际用工单位通过与劳务派遣单位签订的劳务派遣协议，获得使用派遣工的权利。
- 在实际工作过程中，虽然实际用工单位对派遣工有工作上的指挥和管理权，但这并不构成劳动法律关系上的用人单位地位。
- 实际用工单位不直接承担签订劳动合同、支付工资、缴纳社保等用人单位的核心义务。
特殊情形考量
尽管在大多数情况下派遣工与实际用工单位不构成劳动关系，但在某些特殊情况下，如：
- 劳务派遣单位不具备合法经营资格：若劳务派遣单位未取得相应的劳务派遣资质，其派遣行为可能被认定为无效。
- 劳务派遣行为被认定为无效：在某些情况下，如劳务派遣协议违反法律法规的强制性规定，可能被认定为无效。
在上述特殊情况下，且派遣工已按照实际用工单位的要求提供了劳动，此时实际用工单位有可能被认定与派遣工存在事实劳动关系，并需承担相应的用人单位责任。但这种情况属于例外，并非普遍现象。
法律建议
- 明确合同关系：派遣工在入职前应仔细阅读与劳务派遣单位签订的劳动合同，明确自己的用人单位是劳务派遣单位，而非实际用工单位。
- 保留证据：在工作过程中，派遣工应保留好与劳务派遣单位及实际用工单位之间的沟通记录、工作安排等证据，以备不时之需。
- 依法维权：若派遣工认为自己的合法权益受到侵害，如未按时支付工资、未缴纳社保等，应首先向劳务派遣单位主张权利。若劳务派遣单位未履行相应义务，派遣工可依法向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁。
总结：在劳务派遣关系中，派遣工与劳务派遣单位建立劳动关系，而与实际用工单位则存在基于劳务派遣协议的实际用工关系。因此，派遣工通常不可以主张与工厂（实际用工单位）存在劳动关系。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。