在劳动仲裁过程中，被申请人确实有权核查申请人提交证据的真实性。以下是对这一问题的详细分析：
一、被申请人核查证据真实性的权利基础
在劳动仲裁程序中，双方当事人都有权提供证据来支持自己的主张。申请人提交证据后，被申请人作为另一方当事人，自然有权对这些证据的真实性进行核查。这是仲裁程序公正性和透明性的重要体现，也是保障被申请人合法权益的必要手段。
二、被申请人核查证据真实性的方式
质证环节：在仲裁庭组织的质证环节中，被申请人可以对申请人提交的证据进行质询和反驳，提出对证据真实性的质疑，并要求申请人提供进一步的证明或解释。
申请鉴定：如果被申请人对申请人提交的证据真实性存在严重质疑，且无法通过质证环节解决，可以向仲裁庭申请对证据进行鉴定。鉴定机构将依据科学方法和专业标准对证据进行审查，并出具鉴定报告，为仲裁庭提供客观、公正的证据评价。
提供反证：被申请人还可以通过提供反证来反驳申请人提交的证据。反证可以是与申请人证据相矛盾的其他证据，或者是能够证明申请人证据不真实的其他信息。
三、被申请人核查证据真实性的注意事项
及时提出质疑：被申请人应在收到申请人提交的证据后，及时对其进行核查，并在质证环节或仲裁庭规定的时间内提出对证据真实性的质疑。逾期未提出质疑的，可能被视为对证据真实性的认可。
提供合理依据：被申请人在质疑申请人证据真实性时，应提供合理的依据和理由。仅凭主观猜测或无根据的怀疑是不足以否定证据真实性的。
遵守仲裁程序：被申请人在核查证据真实性的过程中，应遵守仲裁程序的规定和要求。不得采取非法手段获取证据或干扰仲裁程序的正常进行。
四、法律后果
如果被申请人未能有效核查申请人提交证据的真实性，或者未能提供充分的反证来反驳申请人证据，仲裁庭可能会根据申请人提交的证据来认定案件事实，并据此作出裁决。这将对被申请人的权益产生不利影响。因此，被申请人应认真对待证据核查工作，确保自己的合法权益得到保障。
建议：在劳动仲裁过程中，被申请人应积极行使自己的权利，对申请人提交的证据进行认真核查。如有需要，可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到充分保障。如果您在劳动仲裁方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。