结论前置：劳动合同到期能否拿赔偿再签第三方，需根据原劳动合同的性质、终止原因及双方约定综合判断。以下分情况详细说明：

一、原合同为劳动合同的情形

1. 正常到期终止
   若原劳动合同到期终止，且用人单位维持或提高条件续订而劳动者拒绝，则无需支付经济补偿金；若用人单位不续签或降低条件导致劳动者不续签，则需支付经济补偿金。
   计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年按一年计，不满六个月支付半个月工资）。
   示例：劳动者工作3年6个月，月工资5000元，则补偿金为 3.5 × 5000 = 17,500元。
   后续签约：领取补偿金后，劳动者可自由与第三方签订合同，原用人单位无权干涉。

2. 提前解除或违法终止
   若因用人单位过错（如违法解除）导致合同未到期终止，劳动者可主张赔偿金（经济补偿金的2倍）。
   示例：用人单位违法解除合同，劳动者工作2年，月工资6000元，则赔偿金为 2 × 2 × 6000 = 24,000元。
   后续签约：赔偿金与后续签约无直接关联，劳动者可正常与第三方签约。

二、原合同为劳务合同的情形

1. 正常到期终止
   若原合同为劳务合同（平等民事主体间的劳务关系），到期终止通常无需赔偿，除非合同明确约定到期补偿条款或一方存在违约行为。
   示例：合同约定“到期未续约支付1个月报酬作为补偿”，则双方需依约履行。
   后续签约：无赔偿义务时，劳动者可直接与第三方签约。

2. 提前解除或违约终止
   若因一方违约导致合同提前终止，需按合同约定或实际损失承担赔偿责任。
   示例：劳动者提前离职给用人单位造成损失，需赔偿实际损失（如招聘成本、培训费用等）。
   后续签约：赔偿后不影响与第三方签约，但需确保不违反竞业限制等约定。

三、关键注意事项

1. 合同性质认定
   需区分劳动合同与劳务合同：劳动合同具有从属性（如用人单位管理、支付工资、缴纳社保等），受《劳动合同法》调整；劳务合同为平等主体间的协议，受《民法典》调整。
   建议：若对合同性质存疑，可要求用人单位明确或通过劳动仲裁确认。

2. 补偿与赔偿的区别

   • 经济补偿金：适用于劳动合同到期终止或合法解除，由用人单位支付。
     
   • 赔偿金：适用于违法解除或违约行为，金额通常高于补偿金。
     
   • 劳务合同赔偿：需以实际损失为限，无固定标准。

3. 第三方签约的限制
   若原合同包含竞业限制条款（如禁止到竞争对手处工作），需遵守约定，否则可能面临违约责任。
   示例：合同约定“离职后2年内不得从事同类业务”，违反则需支付违约金。

四、行动建议

1. 审查原合同：明确合同性质、终止条款及补偿约定。
   
2. 协商沟通：与用人单位协商补偿事宜，保留书面证据（如邮件、聊天记录）。
   
3. 法律途径：若协商无果，可申请劳动仲裁（劳动合同）或提起民事诉讼（劳务合同）。
   
4. 签约准备：与第三方签约前，确保无竞业限制或保密义务冲突。

如有进一步疑问，可直接向我咨询，我会结合具体案情为您详细解答。