公安机关行政不予立案的条款主要依据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关规定，以下是不予立案的具体情形及解析：

1. 没有犯罪事实：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十二条，公安机关对于报案、控告、举报和自首的材料，应迅速审查。若发现没有犯罪事实存在，即不构成犯罪，公安机关将不予立案。这是确保司法资源不被滥用，避免对无辜者进行不必要的调查。例如，若举报人误报某人有犯罪行为，但经公安机关调查后确认并无犯罪事实，则公安机关将不予立案。

2. 犯罪事实显著轻微，不需要追究刑事责任：

   • 同样依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第十六条和第一百一十二条，即使存在犯罪事实，但若该事实情节显著轻微、危害不大，不认为是犯罪的，公安机关同样可以不予立案。例如，轻微的邻里冲突导致的伤害行为，若综合判断社会危害性极小，则可能不属于刑事案件范畴，公安机关将不予立案。

3. 其他法定不予追究刑事责任的情形：

   • 《中华人民共和国刑事诉讼法》第十六条还列举了其他几种特定情形下，公安机关不应立案追究刑事责任的情况，包括：
     • 犯罪已过追诉时效期限：若违法行为发生时间已超过法定的追诉时效，如一般违法行为二年内未被发现（特殊情况延长至五年），则不予立案。
     • 经特赦令免除刑罚：若犯罪嫌疑人经特赦令免除刑罚，则公安机关将不予立案。
     • 依照刑法告诉才处理的犯罪，没有告诉或者撤回告诉：如侮辱罪、诽谤罪等，若被害人没有告诉或者撤回告诉，则公安机关将不予立案。
     • 犯罪嫌疑人、被告人死亡：若犯罪嫌疑人或被告人已死亡，则公安机关将不予立案。
     • 其他法律规定免予追究刑事责任的：如某些特定情况下，法律可能规定免予追究刑事责任，公安机关将据此不予立案。

4. 不予立案的程序与救济途径：

   • 根据《公安机关办理刑事案件程序规定》第一百七十八条，公安机关决定不予立案的，应制作不予立案通知书，并在三日以内送达控告人。
   • 控告人对不予立案决定不服的，可以申请复议，这是法律赋予控告人的救济权利。复议过程中，公安机关会重新审查案件事实和证据，以及原不予立案决定的合法性。
   • 若被害人认为公安机关应当立案侦查而不立案，还可以向人民检察院提出。人民检察院将要求公安机关说明不立案的理由，并根据情况通知公安机关立案，从而进一步保障被害人的合法权益。

法律建议：

• 若您遇到公安机关不予立案的情况，首先应仔细阅读不予立案通知书，了解不予立案的具体理由和依据。
• 若您认为不予立案决定有误，可以依法申请复议或向人民检察院提出申诉，以维护自己的合法权益。
• 在整个过程中，建议您保留好相关证据材料，以便在需要时提供证明。

可能后果：

• 若公安机关不予立案的决定合法有据，且您未能在法定期限内提出复议或申诉，则该决定将生效，案件将不会进入刑事诉讼程序。
• 若您通过复议或申诉成功推翻了原不予立案决定，公安机关将重新立案侦查，案件将进入刑事诉讼程序。

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