针对一楼业主私自开挖地下室导致地基下沉、积水的问题，处罚需结合行政责任、民事责任及刑事责任综合判定，具体如下：

1. 行政责任：违反规划与建设管理法规，可能面临罚款、限期整改或强制恢复

根据《城乡规划法》第六十四条，未取得建设工程规划许可证或未按许可证内容建设的，由县级以上地方人民政府城乡规划主管部门责令停止建设；尚可采取改正措施消除影响的，限期改正，处建设工程造价5%-10%的罚款；无法采取改正措施的，限期拆除，不能拆除的，没收实物或违法收入，可并处建设工程造价10%以下的罚款。
本案中：业主私自开挖地下室属于“未按照规划许可建设”，若导致地基下沉、积水，已影响相邻建筑安全或公共利益，可能被认定为“无法采取改正措施”，面临强制恢复原状（回填地下室）及高额罚款。

2. 民事责任：需赔偿相邻业主及公共设施损失

根据《民法典》第二百九十五条（相邻权）及第一千一百六十五条（过错责任），业主因私自开挖导致相邻建筑地基下沉、房屋开裂或公共区域积水的，需承担侵权责任，赔偿相邻业主的房屋维修费、财产损失及因积水导致的其他损失（如家具损坏、无法正常使用房屋的租金损失等）。
本案中：若积水已蔓延至公共区域（如小区道路、绿化带），业主还需赔偿物业修复公共设施的费用；若导致其他业主人身伤害（如滑倒摔伤），还需承担医疗费、误工费等赔偿。

3. 刑事责任：若造成重大损失，可能涉嫌“过失以危险方法危害公共安全罪”

根据《刑法》第一百一十五条，过失以危险方法危害公共安全，致人重伤、死亡或使公私财产遭受重大损失的，处三年以上七年以下有期徒刑；情节较轻的，处三年以下有期徒刑或拘役。
本案中：若地基下沉导致整栋楼成为危房，或积水引发电路短路、燃气泄漏等严重安全隐患，可能被认定为“危害公共安全”，业主需承担刑事责任。

建议处理步骤

1. 立即停止施工：相邻业主或物业可要求业主停止开挖，避免损失扩大；
   
2. 固定证据：拍摄现场照片、视频，委托第三方机构（如房屋安全鉴定所）出具地基下沉、房屋损坏的鉴定报告；
   
3. 向行政部门举报：向当地城管执法局、规划局或住建局投诉，要求行政处罚；
   
4. 提起民事诉讼：若协商无果，可向法院起诉要求赔偿损失；
   
5. 报警：若存在重大安全隐患，可报警要求追究刑事责任。
   

提示：具体处罚需结合当地执法力度及案件严重程度，建议尽快通过法律途径解决，避免损失进一步扩大。如有进一步问题，可直接向我咨询。