针对业主私自挖地下室这一涉及建筑安全、土地管理法规及可能危害公共安全的严重问题，物业应当采取以下措施来处理：

一、立即制止与通知

物业在发现业主私自挖掘地下室的行为后，应迅速采取行动，首先以书面形式通知业主立即停止施工。在通知中，要明确指出业主的行为已经违反了小区的管理规约以及相关的法律法规，同时详细阐述这种行为可能带来的安全隐患和法律后果，以引起业主的足够重视。

二、深入沟通协调

物业应安排专人与业主进行深入沟通，耐心解释私自改变房屋结构和挖掘地下室的严重危害。这些危害包括但不限于对房屋结构安全的破坏、对地下管线的潜在威胁、对相邻业主权益的侵害等。通过沟通，劝说业主认识到自己的错误，并自行进行整改，恢复房屋原状。

三、及时上报情况

如果业主拒绝停止施工或整改，物业应及时向当地的房地产行政主管部门（如住建局、房管局）以及社区居委会报告情况。报告内容应包括业主的违规行为、已采取的措施、业主的态度以及可能带来的后果等，以便相关部门能够迅速介入，采取进一步的措施。

四、配合行政主管部门处理

在行政主管部门介入后，物业应积极配合其工作，提供必要的协助和支持。这包括提供业主的相关信息、协助进行现场勘查、提供房屋原始设计图纸等。同时，物业还应督促业主按照行政主管部门的要求进行整改，确保整改工作得到有效落实。

五、加强后续监管与宣传

在处理完此次事件后，物业应加强对小区内的监管力度，防止类似事件再次发生。同时，物业还应通过宣传栏、业主大会等方式，加强对业主的法律意识和安全意识的宣传教育，提高业主对违规行为的认知度和抵制力。

六、提醒相邻业主权益

物业还应提醒相邻业主，如果他们的权益受到侵害，可以首先尝试与违规业主友好协商解决。如果协商无果，相邻业主可以向人民法院提起民事诉讼，要求违规业主停止侵权行为、恢复房屋原状，并赔偿因挖掘地下室造成的损失。

综上所述，物业在处理业主私自挖地下室的行为时，应坚持依法依规、坚决制止的原则，通过及时制止、深入沟通、上报情况、配合处理、加强监管与宣传以及提醒相邻业主权益等措施，维护小区的建筑安全、土地管理秩序和公共安全。