签署无固定期限劳动合同后，理论上合同是不存在一个预设的具体终止日期的，但这并不意味着合同不能终止。下面我将从几个方面详细解释这个问题：
一、无固定期限劳动合同的特点
无固定期限劳动合同，顾名思义，是指劳动合同中没有明确的终止时间。这种合同形式的设计初衷是为了鼓励劳资双方建立长期、稳定的劳动关系，从而保障劳动者的就业权。与固定期限劳动合同相比，无固定期限劳动合同更强调劳动关系的稳定性和持续性。
二、无固定期限劳动合同的终止条件
虽然无固定期限劳动合同没有明确的终止时间，但它并非不可终止。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，无固定期限劳动合同可以在以下情况下终止：
双方协商一致：劳动者和用人单位可以协商一致，决定终止劳动合同。这种情况下，双方需要就终止合同的相关事宜达成一致意见，并签订书面协议。
法定终止情形：当出现法律规定的终止情形时，无固定期限劳动合同也可以终止。例如，劳动者达到法定退休年龄、开始依法享受基本养老保险待遇、劳动者死亡或被宣告死亡或失踪、用人单位被依法宣告破产、用人单位被吊销营业执照、责令关闭、撤销或用人单位决定提前解散等。
用人单位单方解除：在特定情况下，用人单位也可以单方解除无固定期限劳动合同。例如，当劳动者严重违反用人单位的规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害、劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系对完成本单位的工作任务造成严重影响或经用人单位提出拒不改正、劳动者以欺诈或胁迫的手段使对方在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同致使劳动合同无效、劳动者被依法追究刑事责任等情形时，用人单位可以单方解除劳动合同。但需要注意的是，用人单位单方解除劳动合同必须符合法律规定的条件和程序，否则可能构成违法解除，需要承担相应的法律责任。
三、关于“终止合同期”的误解
您提到的“终止合同期”可能源于对无固定期限劳动合同的误解。实际上，无固定期限劳动合同并没有一个预设的“终止合同期”。它的终止取决于双方协商一致或出现法律规定的终止情形。因此，在签署无固定期限劳动合同时，双方应明确合同终止的条件和程序，以避免不必要的纠纷。
四、法律建议
明确合同条款：在签署无固定期限劳动合同时，双方应明确合同的内容、期限（虽然为无固定期限，但可约定试用期等）、工作条件、工资待遇、终止条件等关键条款。这有助于减少后续的纠纷和不确定性。
遵守法律规定：双方应严格遵守《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规的规定。用人单位不得随意解除无固定期限劳动合同，劳动者也应履行自己的义务和责任。
及时沟通协商：在合同履行过程中，双方应保持及时沟通协商。当出现可能影响合同履行的情况时，双方应及时协商并寻求解决方案。这有助于维护劳动关系的稳定和和谐。
希望以上解答能够帮助您更好地理解无固定期限劳动合同的相关问题。如果您还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。