当申请执行人在执行过程中去世时，其继承人是有可能变更为新的申请执行人的。这一变更过程主要依据的是《最高人民法院关于民事执行中变更、追加当事人若干问题的规定》中的相关条款。

具体来说，如果作为申请执行人的自然人死亡或者被宣告死亡，那么该自然人的遗产管理人、继承人、受遗赠人，或者其他因该自然人死亡依法承受生效法律文书确定权利的主体，都有权向人民法院申请变更或追加自己为申请执行人。人民法院在审查相关证据和查明权利继受方的主体资格后，如果认为符合法律规定，就会予以支持这样的变更申请。

在实际操作中，继承人需要向法院提供一系列证据来证明自己的权利继受资格。这包括但不限于：申请执行人是否有遗嘱或遗赠抚养协议、法定继承人的范围、其余法定继承人是否均同意放弃继承或同意将申请执行人变更为新的申请人等。如果其他第一顺位继承人都放弃继承，而某个继承人作为第一顺位继承人愿意继承涉案债权，并且事实清楚、于法有据，那么法院就会裁定变更该继承人为新的申请执行人。

以您提供的案例为例，李某在执行过程中去世，其儿子小李作为继承人，在张某（李某的配偶）自愿放弃债权的情况下，向法院申请变更为申请执行人。法院在审查相关证据后，认为小李的申请符合法律规定，因此依法裁定变更小李为本案申请执行人。同样，在付某的案例中，付某去世后，其儿子付某某作为唯一的继承人（在其他第一顺位继承人放弃继承的情况下），也成功变更为申请执行人。

总的来说，当申请执行人去世时，其继承人是有权申请变更为新的申请执行人的，但需要满足一定的法律条件和提供相应的证据。法院在审查这些证据和条件后，会作出是否变更的裁定。