结论前置：针对您首次入职未签合同、单位解散且面临退休的情况，需分步骤处理劳动关系确认、社保补缴及退休手续办理问题。以下是具体分析：

一、劳动关系确认：未签合同不影响事实劳动关系

1. 法律依据
   根据《劳动合同法》第7条及《关于确立劳动关系有关事项的通知》，用人单位未签书面合同，但存在实际用工行为（如考勤、工资发放、工作安排等），即构成事实劳动关系。您可通过以下证据证明：

   • 工资流水、转账记录（显示单位名称或负责人账户）；
   • 工作证、工牌、考勤记录；
   • 同事证言、工作邮件、微信聊天记录；
   • 单位发布的规章制度、通知等文件。

2. 维权路径
   若单位已解散，可向当地劳动仲裁委申请仲裁，确认劳动关系。若单位未注销，可同时主张未签合同的双倍工资差额（最长11个月，自用工次月起算）。

二、社保补缴：单位解散不影响个人权益

1. 单位责任
   根据《社会保险法》第58条，用人单位应自用工之日起30日内为职工办理社保登记。单位未缴纳的，需补缴社保费用及滞纳金。若单位已注销，可向社保部门投诉，要求追缴。

2. 个人补救措施

   • 若单位无财产可执行，可尝试向社保部门申请以个人身份补缴（部分地区允许灵活就业人员补缴）；
   • 若因单位未缴社保导致退休待遇受损（如养老金不足），可向法院起诉原单位股东或出资人（若单位未清算），要求赔偿损失。

三、退休手续办理：需满足法定条件

1. 退休条件
   根据《社会保险法》第16条，达到法定退休年龄（男60岁，女干部55岁，女工人50岁）且累计缴费满15年，可按月领取基本养老金。若缴费不足15年，可：

   • 延长缴费至满15年；
   • 转入城乡居民养老保险；
   • 一次性领取个人账户余额（终止养老保险关系）。

2. 操作建议

   • 携带身份证、户口本、社保卡等材料，向当地社保局申请退休审核；
   • 若因单位未缴社保导致缴费年限不足，可要求社保部门出具缴费证明，通过法律途径追偿；
   • 若单位已注销且无财产，可申请政府垫付或社会救助（具体政策因地而异）。

四、特殊情形处理：单位解散后的责任承担

1. 单位未清算
   若单位未依法清算即注销，股东或出资人可能在未缴出资范围内承担责任。可向法院申请追加被执行人，要求赔偿社保损失。

2. 单位破产
   若单位进入破产程序，根据《企业破产法》第113条，职工债权（如工资、社保）优先清偿。您可向破产管理人申报债权。

行动建议：

1. 立即收集劳动关系证据，向劳动仲裁委申请确认劳动关系；
   
2. 向社保部门投诉单位未缴社保，要求追缴；
   
3. 咨询当地社保局，明确退休手续办理流程及补缴政策；
   
4. 若单位已注销且无财产，可申请法律援助或委托律师处理。
   

如有进一步疑问，可直接向我咨询，我将结合您所在地的具体政策提供详细方案。