结论：在老人照顾孙女多年并起诉索赔的情况下，父母作为未成年子女的法定抚养义务人，应当承担抚养孙女的必要费用。新闻背景中的案例也体现了这一点，法院最终判决父母支付老人抚养孙女的费用及垫付的相关费用。
一、法律定性及依据
父母的法定义务：
- 根据《中华人民共和国民法典》第二十六条：“父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。” 这意味着，抚养未成年子女是父母的法定义务，不得推卸。
- 同时，《民法典》第一千零六十七条规定：“父母不履行抚养义务的，未成年子女或者不能独立生活的成年子女，有要求父母给付抚养费的权利。” 这进一步明确了父母在未履行抚养义务时，子女有权要求其支付抚养费。
祖父母的抚养义务：
- 根据《民法典》第一千零七十四条：“有负担能力的祖父母、外祖父母，对于父母已经死亡或者父母无力抚养的未成年孙子女、外孙子女，有抚养的义务。” 这表明，祖父母、外祖父母仅在父母死亡或无力抚养的情况下，才负有抚养孙子女、外孙子女的义务。在父母健在且有能力抚养的情况下，祖父母并无此法定义务。
二、新闻背景中的法律分析
案件事实：
- 在新闻背景中，奶奶徐阿姨因儿子和儿媳工作繁忙，自孙女小敏出生前后便参与照料，并辞去了多份兼职工作。后来，徐阿姨以“二人曾承诺支付‘保姆费’未足额履行，且自己垫付多项费用”为由诉至法院，要求支付相关费用。
法院判决：
- 法院经审理认为，抚养子女是父母的法定义务，一般情况下祖父母不直接负有抚养孙女的义务。虽然徐阿姨基于亲情自愿照料孙女，但其在儿子、儿媳健在且未丧失抚养能力的前提下，并无抚养孙女的法定义务。因此，徐阿姨有权要求二被告（即儿子和儿媳）负担其由此支出的必要费用。
- 法院综合本案共同生活情况、刚性数额、离婚时间、已支付费用及人均生活消费支出等因素，酌定二被告支付徐阿姨抚养小敏的费用及垫付的相关费用。
三、对公众的启示
明确抚养义务：
- 父母应当明确自己的抚养义务，不得因工作繁忙或其他原因而推卸对子女的抚养责任。在需要祖父母帮忙照料子女时，应当心怀感激，并尽可能提供必要的经济支持。
合理约定补偿：
- 如果祖父母因照料孙子女而产生了额外的经济支出或牺牲了个人利益（如辞去工作），可以与父母合理约定补偿方式。但这种约定应当基于亲情和感谢，而非简单的商业定价。
留存凭证：
- 对于祖父母垫付的与孩子直接相关的费用，应当留存合法票据并标注用途。这既是以事实为依据的司法准则，也契合“诚信立家”的道德要求。在发生争议时，这些凭证可以作为有力的证据。
优先换位思考：
- 在处理家庭带娃等事务时，家庭成员间应当优先换位思考。长辈理解子女的工作压力，子女体谅长辈的带娃辛苦。遇分歧时，应当通过沟通协商解决，避免伤害亲情。
总结：在老人照顾孙女多年并起诉索赔的情况下，父母作为未成年子女的法定抚养义务人，应当承担抚养孙女的必要费用。这既符合法律规定，也体现了对老人付出的尊重和感激。如果遇到类似情况，建议家庭成员间通过沟通协商解决争议，必要时可以寻求法律帮助。