在法院已经立案执行后，若被执行人与申请执行人达成了私下和解协议，双方应当采取以下措施来确保协议的有效执行并妥善处理执行案件：
一、及时通知法院并提交和解协议
通知法院：双方达成和解协议后，应尽快通知执行法院，告知其双方已达成和解，并请求法院暂停或中止执行程序。这是基于执行程序的公开性和透明性要求，确保法院能够及时了解案件进展，避免不必要的执行行为。
提交和解协议：将和解协议的副本提交给执行法院，以便法院记录在案，并作为后续执行或撤销执行程序的依据。和解协议应明确双方的权利义务、履行期限、违约责任等关键条款，确保协议的合法性和有效性。
二、根据和解协议履行义务
被执行人履行义务：被执行人应按照和解协议的约定，按时履行其应承担的义务，如支付款项、交付财产等。这是和解协议得以有效执行的基础，也是被执行人避免进一步法律责任的关键。
申请执行人确认履行：申请执行人在收到被执行人履行的款项或财产后，应及时向法院确认被执行人已履行和解协议约定的义务。这有助于法院及时了解案件进展，为后续的执行或撤销执行程序提供依据。
三、处理执行案件的后续事宜
申请撤销执行申请：若和解协议已全部履行完毕，申请执行人可以向法院申请撤销执行申请。法院在审查确认后，将裁定终结执行程序，案件得以正式结案。
继续执行或恢复执行：若被执行人未按照和解协议的约定履行义务，申请执行人可以向法院申请继续执行原生效法律文书，或恢复对原生效法律文书的执行。法院将根据实际情况，决定是否继续执行或恢复执行，并采取相应的执行措施。
四、注意事项与风险提示
和解协议的合法性：双方达成的和解协议应符合法律法规的规定，不得违反公序良俗或损害第三人的利益。否则，和解协议可能被认定为无效，导致双方无法依据协议解决纠纷。
履行过程中的证据保留：在履行和解协议的过程中，双方应保留好相关证据，如付款凭证、交付证明等。这些证据在后续可能出现的纠纷中，将起到至关重要的作用。
及时咨询专业律师：若在处理执行案件或达成和解协议的过程中遇到任何法律问题或困惑，建议及时咨询专业律师。律师将能够提供专业的法律意见和帮助，确保双方的权益得到妥善保护。
若您在处理此类案件时遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供针对性的法律建议和解决方案。