结论前置：私下签订的和解协议如果不被执行，您确实可以就和解协议的内容要求执行并提起诉讼。

详细解释与法律分析：

1. 和解协议的法律效力：

   • 和解协议，作为双方自愿达成的协议，一旦签订并满足法律规定的生效条件（如双方具有完全民事行为能力、意思表示真实、不违反法律或社会公共利益等），即具有法律约束力。这意味着，协议中的条款对双方均产生法律效力，任何一方都应当履行协议中约定的义务。

2. 不执行和解协议的法律后果：

   • 如果一方不履行和解协议中的义务，即构成违约。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，违约方应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。因此，您有权要求违约方按照和解协议的约定履行其义务。

3. 提起诉讼的依据与流程：

   • 当和解协议不被执行时，您可以依据和解协议的内容，向有管辖权的人民法院提起诉讼，要求法院判决违约方履行协议或承担违约责任。在诉讼过程中，您需要提供和解协议作为证据，以证明双方之间的权利义务关系以及违约方的不履行行为。
   • 诉讼流程通常包括：准备起诉材料（如起诉状、证据材料等）、向法院提交起诉材料并缴纳诉讼费、法院受理并立案、开庭审理、判决等步骤。在诉讼过程中，您可能需要委托律师代理诉讼，以更好地维护自己的合法权益。

4. 注意事项与建议：

   • 在提起诉讼前，建议您先尝试与违约方进行协商，看是否能够通过友好方式解决纠纷。这不仅可以节省诉讼成本和时间，还有助于维护双方之间的关系。
   • 如果协商无果，您应当及时收集并整理相关证据材料，如和解协议、沟通记录、付款凭证等，以证明自己的主张。
   • 在诉讼过程中，您应当遵守法庭纪律和诉讼程序，积极配合法院的审理工作，以便法院能够公正、高效地处理案件。

特殊情况说明：

• 如果和解协议中存在无效条款（如违反法律强制性规定、损害社会公共利益等），则该条款无效，但不影响其他条款的效力。在这种情况下，您仍然可以就有效条款要求违约方履行或承担违约责任。
• 如果和解协议是在诉讼过程中或仲裁程序中达成的，并且已经经过法院或仲裁机构的确认或制作成调解书/裁决书，则该和解协议具有更强的法律效力。在这种情况下，如果一方不履行和解协议，您可以直接向法院申请强制执行。

总结与建议： 私下签订的和解协议如果不被执行，您完全有权利依据协议内容提起诉讼。在诉讼前，建议您先尝试协商解决；如果协商无果，则及时收集证据并准备起诉材料。在诉讼过程中，遵守法庭纪律和诉讼程序，积极配合法院的审理工作。如果您在处理此类纠纷时遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会为您提供专业的法律帮助。