被抓时逃跑后再自动归案的，在一定条件下可以认定为自首。自首的认定主要基于两个核心条件：一是自动投案，二是如实供述自己的罪行。下面我将从这两个方面进行详细分析：

一、自动投案

自动投案是指犯罪嫌疑人在犯罪事实或犯罪嫌疑人尚未被司法机关发觉，或者虽已发觉但犯罪嫌疑人尚未受到讯问、未被采取强制措施的情况下，主动、直接向公安机关、人民检察院或人民法院投案的行为。这包括以下几种情形：

1. 主动投案：犯罪嫌疑人出于本人意愿，主动向司法机关或者有关负责人员承认自己实施了犯罪，并自愿置于司法机关控制之下。
2. 被通缉、追捕过程中投案：如果犯罪嫌疑人在被通缉、追捕过程中主动投案，也应视为自动投案。
3. 准备去投案或在投案途中被捕获：经查实确已准备去投案，或在投案途中被公安机关捕获的，同样应视为自动投案。
4. 向其他有关负责人员投案：犯罪嫌疑人向其所在单位、城乡基层组织或其他有关负责人员投案的，也视为自动投案。

对于被抓时逃跑后再自动归案的情况，如果犯罪嫌疑人逃跑后出于自愿主动回到案发现场或相关司法机关投案，那么这种行为具有主动性和自愿性，符合自动投案的要求。

二、如实供述自己的罪行

如实供述自己的罪行要求犯罪嫌疑人自动投案后，必须如实交代自己的主要犯罪事实。这包括：

1. 如实交代主要犯罪事实：犯罪嫌疑人需要主动归案并如实地交代自己的主要犯罪行为，包括犯罪的时间、地点、方法、手段、结果等。
2. 不隐瞒关键情节：犯罪嫌疑人不能对关键犯罪情节有所隐瞒，否则可能影响自首的认定。

对于被抓时逃跑后再自动归案的情况，如果犯罪嫌疑人归案后能够如实供述自己的罪行，那么即使之前存在逃跑行为，也不影响其自首的认定。

三、特殊情况下的自首认定

1. 被采取强制措施后逃脱又投案：如果犯罪嫌疑人被司法机关采取强制措施后逃脱，又迫于压力等非主动意愿而投案，或者投案后不如实供述主要犯罪事实，那么通常不能认定为自首。
2. 返回现场自首：犯罪嫌疑人返回现场自首的，司法机关通常会根据具体法律规定和案件情况处理。如果到案后能如实供述自己的犯罪行为，应认定为自首。

四、自首的法律后果

对于自首的犯罪分子，法律明确规定可以从轻或者减轻处罚。其中，如果犯罪较轻，甚至可以免除处罚。然而，需要注意的是，虽然自首是法定从轻、减轻处罚的情节，但具体从轻的程度会由司法机关根据案件的实际情况来依法裁量。

举例说明：

• 假设某人因涉嫌盗窃被公安机关抓捕，但在抓捕过程中逃脱。之后，该人出于自愿主动回到公安机关投案，并如实供述了自己的盗窃行为。那么，这种情况可以认定为自首。
• 相反，如果该人逃脱后被公安机关通缉，迫于压力而不得不回来投案，且投案后对关键犯罪情节有所隐瞒，那么这种情况通常难以认定为自首。

综上所述，被抓时逃跑后再自动归案的，在一定条件下可以认定为自首。但具体的法律后果会受到逃跑等情节的影响，并由司法机关根据实际情况进行裁量。如果您或您身边的人遇到类似情况，建议及时咨询专业律师以获取更准确的法律意见。