结论：公司解除劳动合同当天未出具工资结清证明，您有权要求公司补发，并可通过协商、投诉或法律途径维护自身权益。
一、法律背景与依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条：“用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。劳动者应当按照双方约定，办理工作交接。用人单位依照本法有关规定应当向劳动者支付经济补偿的，在办结工作交接时支付。”虽然该条款未直接规定工资结清证明的出具时间，但结合《工资支付暂行规定》第九条：“劳动关系双方依法解除或终止劳动合同时，用人单位应在解除或终止劳动合同时一次付清劳动者工资。”可推断，工资结清证明应作为工资支付完毕的凭证，在解除劳动合同时一并出具。
二、具体建议与操作步骤
与公司协商：
- 沟通内容：明确要求公司补发工资结清证明，并说明该证明对您后续维权（如申请失业保险、办理社保转移等）的重要性。
- 注意事项：保留协商记录（如邮件、微信聊天记录），以备后续需要。
向劳动监察部门投诉：
- 投诉渠道：可通过当地劳动监察大队的官方网站、电话或现场投诉。
- 投诉材料：准备劳动合同、解除劳动合同通知、工资条等证据，证明公司未履行出具工资结清证明的义务。
- 处理结果：劳动监察部门将调查核实，并责令公司限期改正。
申请劳动仲裁：
- 仲裁请求：若公司拒绝补发证明，您可向劳动仲裁委员会申请仲裁，要求公司出具工资结清证明，并可能主张因未出具证明导致的损失（如无法及时办理社保转移导致的医疗费用无法报销等）。
- 仲裁材料：包括仲裁申请书、身份证复印件、劳动合同、解除劳动合同通知、工资条等证据。
- 仲裁流程：仲裁委员会将受理案件，组织调解或开庭审理，并作出裁决。
三、可能面临的法律后果与风险提示
公司责任：
- 若公司未按时支付工资或出具工资结清证明，可能面临劳动监察部门的处罚，包括罚款、责令改正等。
- 若因未出具证明导致您损失，公司可能需承担赔偿责任。
您应注意的事项：
- 保留证据：务必保留与工资支付、劳动合同解除相关的所有证据，以备维权之需。
- 及时行动：发现公司未出具证明后，应尽快与公司协商或向相关部门投诉，避免因拖延导致证据灭失或维权困难。
- 法律途径选择：根据具体情况选择合适的维权途径，如协商、投诉或仲裁，以高效解决问题。
四、特殊情况处理
- 若公司已支付工资但未出具证明：您可要求公司补发书面证明，或通过银行转账记录、工资条等证据证明工资已支付。
- 若公司拒绝支付工资且未出具证明：您应立即向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，主张工资支付及因未出具证明导致的损失。
总结：公司解除劳动合同当天未出具工资结清证明，您有权要求公司补发，并可通过协商、投诉或法律途径维护自身权益。在处理过程中，务必保留相关证据，及时行动，以高效解决问题。如有进一步疑问或需要法律帮助，可直接向我咨询。