结论：履行法定职责申请书一般可以直接送到相关部门，但需根据具体情况选择合适的送达方式，并确保符合法定程序和要求。

1. 直接送达的合法性
   根据《中华人民共和国行政诉讼法》及相关司法解释，公民、法人或其他组织认为行政机关不履行法定职责时，有权通过书面形式向该机关提出申请。若法律、法规或规章未明确规定送达方式，直接送达相关部门（如行政机关办公场所）是合法且有效的。例如，向市场监管部门提交投诉申请、向自然资源部门申请信息公开等场景中，直接递交申请书可确保材料及时接收。

2. 需注意的例外情形

   • 法定程序要求：若特定法律（如《政府信息公开条例》）明确规定需通过邮寄、在线平台等特定方式提交，则直接送达可能不符合程序要求，需优先遵循法定途径。
     
   • 部门内部规定：部分行政机关可能通过规范性文件对申请方式作出限制（如仅接受邮寄或指定系统提交），此时需以部门要求为准。建议提前通过官方网站、电话咨询等方式确认送达方式。
     
   • 证据留存需求：直接送达时，建议要求接收人员签收并注明日期，或通过公证、录像等方式固定送达证据，以避免后续争议。

3. 操作建议

   • 优先确认要求：通过行政机关官网、公告栏或直接联系，明确其对申请书的形式、提交渠道（如窗口、邮寄、电子系统）是否有特殊规定。
     
   • 保留送达凭证：若选择直接送达，务必要求接收方出具回执或签收单；若通过邮寄，建议使用EMS并留存寄送凭证。
     
   • 内容合规性：确保申请书明确请求事项、事实依据及法律依据，避免因内容瑕疵导致被拒收或不予处理。

总结：直接送达履行法定职责申请书在多数情况下可行，但需结合具体法律规范和部门要求操作。如有疑问，可进一步提供申请事项类型及目标部门信息，我将协助分析具体送达方式。