结论前置：
- 一般情况下，公交公司需承担赔偿责任。若司机存在故意或重大过失，公交公司在赔偿后可向其追偿。
- 若乘客自身存在故意或重大过失导致受伤，公交公司可不承担赔偿责任，但需公交公司举证证明。
详细分析：
一、责任归属
公交公司责任：
- 乘客购票上车后，即与公交公司形成了客运合同关系。根据《中华人民共和国民法典》第八百二十三条，承运人（公交公司）应当对运输过程中旅客的伤亡承担赔偿责任，除非伤亡是旅客自身健康原因造成的，或者承运人能证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的。
- 在本案例中，公交司机在乘客未坐稳的情况下启动车辆，导致乘客摔伤，这明显属于公交公司未尽到安全保障义务，因此公交公司应承担赔偿责任。
司机责任：
- 公交司机作为公交公司的员工，在执行工作任务过程中造成乘客损害，原则上由公交公司承担侵权责任。
- 但如果公交司机在驾驶过程中存在故意违反操作规程或重大过失导致乘客受伤，公交公司在向乘客承担赔偿责任后，有权向有故意或重大过失的司机进行追偿。
乘客自身责任：
- 如果乘客自身存在故意或重大过失导致受伤，比如故意不抓稳扶手、在车辆行驶过程中随意走动等，那么公交公司可能不承担赔偿责任。但这一举证责任在公交公司，即公交公司需要证明乘客存在故意或重大过失。
二、处理流程
现场救助与证据收集：
- 公交司机应立即停车，检查受伤乘客状况，并提供初步急救措施。同时，维持车内秩序，避免二次伤害。
- 利用公交车上的监控设备记录事故全过程，确保监控记录完整、清晰。
- 记录事故发生的时间、地点、车辆编号等信息，并拍摄现场照片或视频（如果条件允许）。
- 寻找目击者，记下他们的联系方式，以便后续作为证人。
协商赔偿：
- 乘客或其家属应与公交公司进行沟通，提出合理的赔偿要求，并提供相关证据，如医疗费用票据、误工证明等。
- 公交公司应核实和评估乘客的损失，并与乘客就赔偿金额和方式进行协商。双方达成一致后，应签订赔偿协议。
调解与诉讼：
- 如果协商不成，乘客可以向当地人民调解委员会或交通运输管理部门申请调解。调解员会组织双方当事人进行调解，促使双方在平等协商的基础上自愿达成调解协议。
- 如果调解无果，乘客可以向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，乘客需要准备充分的证据材料，如监控视频、医疗费用票据、证人证言等，以支持自己的诉讼请求。
三、法律建议
- 保留证据：乘客在受伤后，应尽可能保留所有与事故相关的证据，包括医疗记录、费用票据、现场照片或视频、目击者联系方式等。这些证据在后续的协商、调解或诉讼过程中都将起到关键作用。
- 及时咨询：如果乘客对法律程序或赔偿标准不了解，可以及时咨询专业律师（比如我，于莹莹律师，就擅长处理这类交通事故领域的法律问题），以获取更专业的法律建议和帮助。
- 理性维权：在维权过程中，乘客应保持理性，避免采取过激行为。通过合法途径维护自己的权益，是更加有效和可持续的方式。
总结：在本案例中，公交公司通常需要承担赔偿责任，除非能证明乘客自身存在故意或重大过失。乘客在受伤后，应及时收集证据、与公交公司协商赔偿，并在必要时通过调解或诉讼途径维护自己的权益。如果有任何法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。