结论：未做司法鉴定而签订私了协议，若存在对伤情严重程度的重大误解，且赔偿金额显失公平，则构成重大误解，该协议可被撤销。结合新闻背景，徐某在不知自己伤残十级的情况下签订协议，后因病情加重被鉴定为十级伤残，法院撤销了原协议并判赔16万元，正是基于重大误解和显失公平的考量。
一、法律定性：重大误解与显失公平
重大误解：
- 根据《民法典》的相关规定，行为人因对行为的性质、对方当事人、标的物的品种、质量、规格和数量等的错误认识，使行为的后果与自己的意思相悖，并造成较大损失的，可以认定为重大误解。
- 在本案中，徐某在签订协议时，尚未进行司法鉴定，对自己伤情的严重程度（十级伤残）存在重大误解。这种误解导致他接受了远低于实际损失的赔偿金额。
显失公平：
- 显失公平是指一方当事人利用对方处于危困状态、缺乏判断能力等情形，致使民事法律行为成立时显失公平的，受损害方有权请求人民法院或者仲裁机构予以撤销。
- 本案中，协议约定的赔偿金额5800元与徐某实际应得的赔偿金额（16万元）相差悬殊，显然显失公平。
二、涉及的法律条文
- 《民法典》第一百四十七条：基于重大误解实施的民事法律行为，行为人有权请求人民法院或者仲裁机构予以撤销。
- 《民法典》第一百五十一条：一方利用对方处于危困状态、缺乏判断能力等情形，致使民事法律行为成立时显失公平的，受损害方有权请求人民法院或者仲裁机构予以撤销。
三、可能的法律后果
- 协议撤销：如法院认定存在重大误解或显失公平，将撤销原私了协议。
- 重新赔偿：协议撤销后，受害人有权要求侵权人按照实际损失进行赔偿，包括医疗费、护理费、误工费、残疾赔偿金等。
- 诉讼风险：对于侵权人而言，若协议被撤销，可能面临更高的赔偿金额和诉讼成本。
四、对公众的启示
- 及时进行司法鉴定：在交通事故等造成人身伤害的情况下，受害人应及时进行司法鉴定，以准确了解自己的伤情和损失情况。
- 谨慎签订私了协议：在未了解清楚自己伤情和损失的情况下，不要轻易签订私了协议。如已签订，且存在重大误解或显失公平的情况，应及时寻求法律救济。
- 保留相关证据：在交通事故发生后，受害人应保留好相关证据，如医疗记录、鉴定意见书、交通事故认定书等，以便在后续诉讼中维护自己的合法权益。
五、类似情况的预防措施
- 加强法律宣传：通过媒体、社区活动等方式，加强法律宣传，提高公众对交通事故赔偿等法律问题的认识。
- 提供法律咨询：设立法律咨询热线或窗口，为公众提供法律咨询和帮助，引导他们正确处理交通事故等法律问题。
- 完善调解机制：建立健全交通事故调解机制，为当事人提供公正、高效的调解服务，减少私了协议带来的法律风险。
总结：未做司法鉴定而签订私了协议，若存在对伤情严重程度的重大误解且赔偿金额显失公平，则构成重大误解。在此情况下，受害人有权请求法院撤销协议并要求重新赔偿。公众应增强法律意识，谨慎处理交通事故等法律问题，以维护自己的合法权益。如有任何法律问题，可以直接向我咨询。