在调解书履行期间，为防止案外人申请执行，需重点关注以下四种情形及对应的处理方式：

1. 案外人对调解书涉及的财产主张权利

   • 情形：调解书中涉及特定财产（如房产、车辆、存款等），案外人主张对该财产享有所有权或其他物权，进而申请执行。
     
   • 处理方式：
     
     • 及时提出执行异议：案外人应在知道或应当知道执行行为之日起15日内，向执行法院提出书面异议，并提交权属证明（如购房合同、付款凭证、登记证书等）。
       
     • 申请再审或提起第三人撤销之诉：若案外人认为调解书损害其民事权益，可在知道或应当知道权益受损之日起6个月内，向作出调解书的法院申请再审，或向执行法院所在地的高级人民法院提起第三人撤销之诉。
       
     • 调解书明确财产归属：在调解阶段，应尽量明确财产归属，避免模糊表述。例如，若财产涉及案外人权益，可要求案外人参与调解或明确排除其权利。

2. 案外人主张调解书内容侵害其合法权益

   • 情形：调解书内容（如债务承担、权利义务分配）间接损害案外人利益（如担保人、共有人、继承人等），案外人申请执行或要求撤销调解书。
     
   • 处理方式：
     
     • 审查案外人主体资格：确认案外人是否为有独立请求权的第三人或无独立请求权的第三人。若为有独立请求权的第三人，可直接提起诉讼；若为无独立请求权的第三人，需证明调解书与其有法律上的利害关系。
       
     • 通过执行异议程序救济：案外人可向执行法院提出书面异议，要求中止执行或排除执行。法院应在收到异议后15日内审查，并作出裁定。
       
     • 调解时主动披露关联关系：在调解过程中，应主动披露可能涉及案外人权益的情况，避免因信息不对称导致调解书被撤销或执行受阻。

3. 案外人以虚假诉讼为由申请执行

   • 情形：案外人主张调解书系双方恶意串通、虚构债务或损害其利益，要求法院不予执行或撤销调解书。
     
   • 处理方式：
     
     • 提供反证证明调解真实性：当事人应保留调解过程中的证据（如沟通记录、转账凭证、证人证言等），证明调解内容真实、合法。
       
     • 申请法院审查调解程序：若案外人主张调解程序违法（如未通知必要共同诉讼人、未保障案外人参与权等），可要求法院审查调解程序是否合规。
       
     • 追究虚假诉讼法律责任：若查实存在虚假诉讼，可依据《刑法》第三百零七条之一（虚假诉讼罪）追究相关人员刑事责任，同时要求案外人承担民事赔偿责任。

4. 案外人因继承、赠与等法律关系申请执行

   • 情形：调解书涉及财产因继承、赠与等法律关系发生权属变动，案外人主张继承权或赠与权，要求执行财产。
     
   • 处理方式：
     
     • 明确调解书效力范围：在调解书中应明确财产权属变动是否涉及案外人权益。例如，若财产为共同共有，需所有共有人同意调解方案。
       
     • 通过继承或赠与程序解决：若案外人主张继承权或赠与权，应引导其通过继承公证、赠与合同公证等程序确认权利，再向法院申请执行。
       
     • 申请执行异议之诉：若案外人已取得执行依据（如继承公证书、赠与合同），可向执行法院提起执行异议之诉，要求确认其权利并排除执行。

总结建议：
在调解书履行期间，为防止案外人申请执行，当事人应：

1. 全面披露财产权属及关联关系，避免调解内容涉及案外人权益；
   
2. 保留调解过程中的证据，证明调解真实、合法；
   
3. 及时应对案外人提出的异议或诉讼，通过法律程序维护自身权益。
   

如有具体案件或疑问，可直接向我咨询，我将结合案件细节提供进一步分析。