核心结论：在医院工作六年，第三年医院更换外包公司时，工龄的计算需分情况讨论，具体如下：

1. 若劳动合同主体未变更，仅外包公司更换
   根据《劳动合同法实施条例》第十条及《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第四十六条，若您与原外包公司签订的劳动合同未终止，且新外包公司承继了原合同的权利义务（如岗位、薪资、工龄连续计算等），则工龄应连续计算。此时，您在医院的总工龄仍为六年，第三年更换外包公司不影响工龄累计。
   关键点：需确认新外包公司是否明确承继原合同工龄，或是否与您重新签订劳动合同并约定工龄连续。若未明确承继且未补偿工龄，可能涉及违法。

2. 若劳动合同主体变更，且未约定工龄承继
   若原外包公司终止与您的劳动合同，新外包公司重新与您签订合同，且未约定工龄连续计算，则从法律角度，工龄可能从新合同签订之日起重新计算。但根据《劳动合同法》第三十四条，若原外包公司将您安排至新外包公司（属于“非本人原因从原用人单位被安排到新用人单位”），您可要求新外包公司合并计算原单位工龄。
   关键点：需保留原合同终止证明、新合同签订记录及医院或外包公司关于工作安排的书面证据，以主张工龄连续。

3. 若医院直接变更用工关系（如从外包转为医院直聘）
   若医院在第三年将您从外包岗位转为医院正式员工，且未支付经济补偿，根据《劳动合同法实施条例》第十条，您可要求医院承认原外包期间的工龄，并计入医院工作年限。若医院拒绝，您可通过劳动仲裁主张权益。
   关键点：需证明工作内容的连续性（如岗位、职责未变）及医院用工关系的变更事实。

建议行动：

• 立即核对与原外包公司、新外包公司签订的劳动合同及补充协议，确认是否有“工龄连续计算”条款；
  
• 收集工资条、工作证、考勤记录等证据，证明工作年限的连续性；
  
• 若发现工龄被中断且未获补偿，可向当地劳动监察大队投诉或申请劳动仲裁，主张工龄连续及可能的经济补偿。
  

如有进一步细节（如合同条款、更换原因等），可直接向我咨询，我会结合具体证据为您分析。