针对您提出的问题，即“手指断了工伤还没做鉴定，生病死了怎么办”，我会从以下几个方面为您详细解答：
一、关于工伤认定的基本流程
首先，需要明确的是，工伤认定是享受工伤保险待遇的前提。根据《工伤保险条例》及相关规定，职工发生事故伤害后，应尽快到用人单位所在地申请工伤认定。这一步骤通常由用人单位在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内提出申请。若用人单位未按规定提出申请，工伤职工或其近亲属、工会组织可在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，直接向用人单位所在地社会保险行政部门提出工伤认定申请。
二、关于未做工伤鉴定而死亡的情况
在您描述的情况中，工伤职工在未完成劳动能力鉴定（即工伤鉴定）的情况下因生病死亡，这涉及到两个关键问题：一是工伤认定的完成情况，二是死亡原因与工伤的关联性。
工伤认定完成情况：
- 如果工伤认定已经完成，即已经确认该职工的伤害为工伤，那么后续的处理将依据工伤保险的相关规定进行。
- 如果工伤认定尚未完成，但职工已经死亡，其近亲属仍可继续申请工伤认定。若认定成功，将依据工伤保险规定享受相应待遇。
死亡原因与工伤的关联性：
- 根据《工伤保险条例》第十五条第(一)项，职工在工作时间和工作岗位突发疾病死亡或者在48小时内经抢救无效死亡，可视为工伤。但这一条款有严格的适用条件，即发病到死亡的过程需具有连续性、紧密性，且通常要求从工作场所直接送医抢救。
- 在您描述的情况中，若职工的死亡并非直接由工伤引起，而是由于其他疾病导致，且不符合上述“48小时内死亡”的条件，则可能不被视为工伤。
三、关于后续处理建议
尽快完成工伤认定：
- 无论职工是否已经死亡，其近亲属都应尽快向用人单位所在地社会保险行政部门提出工伤认定申请，以明确伤害性质。
咨询专业法律意见：
- 由于工伤认定和待遇享受涉及复杂的法律问题，建议咨询专业律师或法律援助机构，以获取更具体的法律指导。
准备相关证据材料：
- 在申请工伤认定和后续处理过程中，需要准备相关证据材料，如医疗证明、事故报告、证人证言等，以支持申请。
关注工伤保险待遇：
- 若工伤认定成功，且职工的死亡与工伤有直接关联，其近亲属可依据工伤保险规定享受相应待遇，如丧葬补助金、供养亲属抚恤金等。
四、特殊情况说明
- 若职工的死亡与工伤无直接关联，而是由于其他独立疾病导致，则可能无法享受工伤保险待遇。此时，其近亲属可依据基本医疗保险、社会救助等其他途径寻求帮助。
综上所述，针对您提出的问题，建议尽快完成工伤认定申请，并咨询专业法律意见以明确后续处理方向。同时，准备好相关证据材料以支持申请，并关注工伤保险待遇的享受条件。