面对小交通事故后双方私下同意责任但对方不承认的情况，您可以按照以下步骤来处理，以保护自己的合法权益：

一、紧急收集证据

1. 现场照片：事故发生后，应尽快拍摄现场照片，确保清晰记录车辆碰撞位置、现场状况等关键信息。这些照片将成为后续维权的重要证据。

2. 事故责任认定书：如果事故发生时交警到场并出具了事故责任认定书，那么这份文件将是证明事故责任的关键证据。

3. 聊天记录：保留与对方私了协商时的所有聊天记录，包括文字、语音或视频等，这些都能证明双方当时的约定和协商过程。

4. 证人证言：如果事故现场有目击者，可以请他们提供证人证言，描述事故发生的经过和双方的责任情况。

二、与对方再次沟通

在收集到足够证据后，尝试与对方再次沟通，明确告知对方需要履行私了协议。可以通过电话、短信或面对面交流的方式进行，确保沟通内容有记录可查。

三、向交警部门反映

如果与对方沟通无果，可以向当地交警部门反映情况。详细说明事故发生的经过、双方的责任约定以及对方不认账的情况，请求交警部门帮忙调解。交警部门会根据实际情况进行调查，并尝试促成双方达成和解。

四、向法院提起民事诉讼

如果交警部门调解不成功，或者对方仍然拒绝履行私了协议，您可以考虑向法院提起民事诉讼。在诉讼过程中，您需要将之前收集到的所有证据提交给法院，包括现场照片、事故责任认定书、聊天记录和证人证言等。法院将根据这些证据来审理案件，并作出公正的判决。

五、注意事项

1. 及时行动：发现对方不认账后，要尽快采取行动，收集证据并与对方沟通。拖延时间可能会导致证据丢失或对方态度更加坚决。

2. 保持冷静：在处理此类纠纷时，要保持冷静和理性，避免情绪化行为导致矛盾升级。

3. 寻求专业帮助：如果您对法律程序不熟悉或感到困惑，可以寻求专业律师的帮助。律师将为您提供法律咨询和代理服务，确保您的权益得到充分保护。

总之，面对小交通事故后对方不认账的情况，您需要紧急收集证据、与对方再次沟通、向交警部门反映并考虑向法院提起民事诉讼。通过这些措施，您可以有效保护自己的合法权益。